八月四，爆零日

$\mathsf{R}\mathsf{a}\mathsf{i}\mathsf{n}\mathsf{y}\mathsf{b}\mathsf{u}\mathsf{n}\mathsf{n}\mathsf{y}$：“我今天真的感觉到了，几天不写代码就写不来了。”

$\mathsf{O}\mathsf{n}\mathsf{e}\mathsf{I}\mathsf{n}\mathsf{D}\mathsf{a}\mathsf{r}\mathsf{k}$：“我不一样，我从来都写不来代码。”

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今天这场爆零了。$T1$ 爆零，$T3$ 不会，$T2$ 写了个伪做法，$n=7$ 的随机数据一组就出锅，所以爆零是理所当然的。只不过测试数据水的离谱。

越是爆零，越不想补题。就像越是自己不拥有的东西，越想撮合别人。——我想要 $\mathsf{y}\mathsf{s}\mathsf{p}\mathsf{m}$ 和 $\mathsf{z}\mathsf{e}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{4338}$ 的情头徽章（超大声）！

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我焯，怎么是三道紫题！三道紫题爆零，$\mathsf{O}\mathsf{n}\mathsf{e}\mathsf{I}\mathsf{n}\mathsf{D}\mathsf{a}\mathsf{r}\mathsf{k}$ 什么水平？

补题都感觉害臊，算了不补了。

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《COCI2020-2021#2 Svjetlo》

不难发现移动是跟子树挂钩的。因此有个自然的想法是，设 $\mathtt{d}\mathtt{p}$ 状态为 $f(x,0/1,0/1)$ 表示从 $x$ 出发，只在子树内移动使得子树内除了 $x$ 都被点亮，最后是否走回 $x$ 以及 $x$ 的明暗状态。

容易转移，因为每个子树只会进入一次。记得判断全 $1$ 子树。然后换根，因为转移是矩阵形式。常数确实大。

不过正解是讨论路径有几个端点在子树内，没有定位端点（于当前节点上），非常高明啊。

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《COCI2020-2021#1 3D Histogram》

起先想在右端点移动时维护左端点答案，感觉难搞啊。

不妨从简单想起。即使 $b_i=1$ 上面的做法都挺不好搞；最好的做法是枚举 $min\{a_i\}$ 。

所以我们枚举 $min\{a_i\}$，问题转化为区间内最大 $\mathrm{\Delta }x\cdot min\{b_i\}$ 。

考虑在 $\{b\}$ 的笛卡尔树上定位该区间，用 $\mathtt{z}\mathtt{k}\mathtt{w}$ 线段树的方式，显然在 $l,r$ 到其 $lca$ 这两条链上的点作为 $min\{b_i\}$ 时，可用区间受 $l$ 或 $r$ 限制（在区间外的，也也可套用该式计算，因为其值必为负数），而内部的点不受限制。只有 $lca$ 单点同时受 $l,r$ 限制，这个 $\mathcal{O}(1)$ 算出来就好。

受限制的点的贡献是 $b_i(r-l_i)$，其中 $r$ 是询问值（是变量）。这是一次函数。不受限制的点的贡献是定值，这个较简单；先解决树链上的一次函数最值问题。

有个细节是，越深的点的斜率 $b_i$ 越大。那我们在树上 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 时维护可回退凸包，插入是容易的。注：新插入的直线更深，这是更容易被包含在询问范围内的，因此弹掉被覆盖的直线是合理的。

递归到需要询问的树链的下端点时，询问之。若该点对应凸包直线在询问区间内，答案即得。否则应使用最靠上的直线。因为插入直线是从左到右、斜率递增的。

而定值（不受限制的点的贡献）相当于斜率为 $0$ 的直线，同理可维护。相当于是可回退单调队列。

所以我们 $\mathcal{O}(n\log n)$ 得到了所有询问的答案。定位 $lca$ 等使用 $\mathit{\text{RMQ}}$ 即可，总复杂度 $\mathcal{O}(n\log n)$ 。这在 $b_i=1$ 的 $\mathcal{O}(n)$ 计算基础上添了个 $\log n$，似乎也有道理。

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《COCI2020-2021#3 Specijacija》

$\mathrm{D}\mathrm{S}$ 的目标在于 给计算机一个可维护的结构 而不是自己手算任何东西。我曾试图解节点在某层的编号。

注意到 $lca$ 几乎总是分岔点，将分岔点的虚树建出来即可。

求最近的分岔点，可以自顶向下，可持久化平衡树就维护出来了。

为了代码实现的方便，不妨用可持久化线段树（可持久化数组）自底向上维护。修改时，使用“先赋值再复制”的方法，就可以把前面的所有版本统一赋值了。

找到分岔点之后的事情是平凡的。经 $\mathsf{R}\mathsf{a}\mathsf{i}\mathsf{n}\mathsf{y}\mathsf{b}\mathsf{u}\mathsf{n}\mathsf{n}\mathsf{y}$ 提醒，最好把自己是左儿子还是右儿子存下来。