某道多解的图论题

这道题好像挺不错的——至少在解法的多样性上，是很令人感到惊讶的。

问题

问题：给图 $T=(V,E)$ 其中 $V=\{1,2,\dots ,n\}$，额外添加点 $0$ 和边 $E^{\prime }=\{(0,i,a_i)\}$ 即每个点 $i$ 与 $0$ 之间连权值为 $a_i$ 的边。动态修改 $a_i$，请维护图的最小生成树的边权和。

显然 $T$ 只用保留 $\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{T}$，故后文假定 $T$ 是树。令 $G$ 为新图 $(V\cup \{0\},E\cup E^{\prime })$ 。

解法一

考虑发掘 $T$ 是树的特点。我们惊讶地发现 $G$ 是平面图。

几何的证明：按照 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 序连边，顺便划分平面。—— $\mathsf{\text{crashed}}$

代数的证明：考虑图拟阵的对偶拟阵，可以发现其为图拟阵，因此原图为平面图。

因此我们用经典方案，两个 $\mathit{\text{LCT}}$ 分别维护原图和对偶图（对偶拟阵）即可。

然而这玩意儿实际运行效率直逼 $\mathcal{O}(n{\log }^{2}n)$ 做法，故不予考虑。

解法二

优化 解法一：$G$ 不仅是平面图，而且是由树 $T$ 导出的。

研究一下对偶拟阵：树边变为了连接子树内 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 序的 $(min-1)$ 和 $max$ 。显然它仍然满足树的形状，可以树形 $\mathtt{d}\mathtt{p}$ 求答案。具体式子就不列了。

动态 $\mathtt{d}\mathtt{p}$ 与全局平衡二叉树使得其复杂度为 $\mathcal{O}(n\log n)$ 。

然而对偶应该保持其复杂性不变，因此从正向角度也应该有树形 $\mathtt{d}\mathtt{p}$ 方案。

树形？也就是说，本题不是图论，而是树论？从 $T$ 的角度考虑，容易想到 $\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{T}$ 实际上是将 $T$ 划分为若干连通块，每个连通块内选择 $mina$ 罢了。

由此也可以 $\mathtt{d}\mathtt{p}$，应该得到卷爷的做法。

解法三

解法二 的 $\mathtt{d}\mathtt{p}$ 的侧重点是连通块，选 $a$ 是附带。换个角度，就是以选 $a$ 为侧重点，不难想到接下来划分连通块的方案是 $\mathtt{\text{kruskal}}$ 。

对 $T$ 建立 $\mathtt{\text{kruskal}}$ 重构树 $T^{\prime }$，则 $T^{\prime }$ 的每个子树（代表连通块）只有两种状态：其内有 $a$ 被选（因此每个点都与 $0$ 连通），或其内无 $a$ 被选（则该子树包含的边都被使用）。

这同样得到简单 $\mathtt{d}\mathtt{p}$ 。改成 $\mathtt{d}\mathtt{d}\mathtt{p}$ 是顺着时间轴维护树形信息。

如果顺着树形结构，维护时间轴信息，应该大致得到校长的做法，但我不确定。

解法四

可以让代码更好写。

注意到每个 $a$ 管辖某个 $T^{\prime }$ 上子树，考虑将问题放到 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 序上，变为每个 $a$ 直接去管辖任意 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 序区间（不要求对应 $T^{\prime }$ 子树）。

这样不改变最优解。因为 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 序的选取不是 $T^{\prime }$ 子树时，相当于用了 $T^{\prime }$ 的较高级（深度较小）的边（权值较大）来接管原本用较低级边连通的连通块。

在线段树上不难维护该问题最优解——记录该区间期望被哪一侧的 $a$ 管辖即可。这样就得到妹妹的做法（然而没有链接😄）。

妹妹表示自己从 $T$ 是链的角度出发，直接考虑给连通块选取 “等价链”，就得到该做法。我只能说 沐目女未 卡哇伊！