某道图论题中的数学原理

参考博客。一句话解释：图的回路空间与割空间互为正交补。

边空间：即幂集 $2^{E}$ ，可视为 $GF (2)$ 上的线性空间。
回路空间：使得每个点的度数为偶数的边集的子集。可视为 “边空间” 的子空间，记为 $C$ 。
割空间：所有 ${(u, v) : u \in S, v \notin S}$ ，其中 $S \subseteq V$ 。也可以视为 “边空间” 的子空间，记为 $D$ 。
Proof. 注意到 $S$ 的割边集就是 $S$ 内每个点的邻边集的对称差，因此 $D$ 对 $\oplus$ 封闭。 $◼$

给出图的任意生成树 $T$ 。有如下性质。

非树边 $(a, b)$ 与 $T$ 上 $a ⇝ b$ 的路径的并集被称为 “基环”。则所有 “基环” 构成 $C$ 的基。
任意给 $T$ 定根， $T$ 的子树 $S$ 对应的割被称为 “基础割”。则所有 “基础割” 构成 $D$ 的基。
内积 $E_{1} \cdot E_{2} = | E_{1} \cap E_{2} | mod 2$ ，毕竟基域为 $GF (2)$ 。则 $\forall c \in C, d \in D$ 有 $c \cdot d = 0$ 。
Proof. 根据割 $d$ 构造二部图，显然环 $c$ 必须经过 “边界线” 偶数次。 $◼$
边集 $x \subseteq E$ 满足 $x \in D$ 当且仅当 $\forall c \in C$ 有 $x \cdot c = 0$ 。——即 $D$ 是 $C$ 的正交补。

Proof. 注意到 $\dim C = | E | - | V | + 1$ 而 $\dim D = | V | - 1$ ，二者都在 $\dim = | E |$ 的 “边空间” 内，由上一条知 $D$ 恰为 $C$ 的正交补。 $◼$

课后习题：试证明，边空间是 $C$ 和 $D$ 的直和，当且仅当生成树数量为奇数。按：我不会。

回到原题上，需判定是否有 $d \subseteq x$ 满足 $d \in D$ 。设 $S_{x}$ 为哪些基环与 $x$ 的内积为 $1$ ，则条件等价于 $\exists d \subseteq x$ 使得 $⨁_{i \in d} S_{i} = \emptyset$ 。相当于询问集合内的元素是否都成对出现。

于是有经典做法：给每个元素赋随机权 $ω_{x}$ ，令 $ω (S) := ⨁_{i \in S} ω_{i}$ ，则 $⨁_{i} ω (A_{i}) = 0$ 和 $⨁_{i} A_{i} = \emptyset$ 可以被认为是相同的（单次错判的概率是 $2^{- k}$ 其中 $k$ 是 $ω_{x}$ 的 $b i t$ 长度）。然后只要检测是否线性无关。

当 $e$ 是树边时， $S_{e}$ 就是 “经过 $e$ 树边” 的非树边对应的基环；当 $e$ 是非树边时， $S_{e}$ 就是 $e$ 对应的基环。因此可以用树上差分求出所有 $ω (S_{x})$ 了。

时间复杂度 $O (n + q k + q \log_{2} \frac{1}{ϵ})$ ，其中 $ϵ$ 是被容许的错误率，如 $10^{- 18}$ 。

从 $m a t r o i d$ 出发，可以得到相同的结论。目标是判断 $x$ 是否在图拟阵的对偶拟阵中独立。

根据拟阵相关知识，我们知道图拟阵是正则拟阵，可以在 $GF (2)$ 上被线性表出。任取生成树 $T$ ，设其为前 $(n - 1)$ 条边，则 $(n - 1) \times m$ 的线性表出矩阵 $A$ 满足：前 $(n - 1) \times (n - 1)$ 方阵是 $I$ ，后 $(m - n + 1)$ 列上每列为 $1$ 的元素是与该非树边构成环（“基环”）的树边。