其实不是题目太 \(\text{mathematical}\)，只是我太愚钝了。
欧文–霍尔分布：\(n\) 个在 \([0,1]\) 内均匀分布的独立随机变量 \(\{x_i\}\)，其和 \(y=\sum x_i\) 的累积分布函数（\(\text{Cumulative Distribution Function}\)）为
\[f(y;n)=\frac{1}{n!}\sum_{j=0}^{\lfloor y\rfloor}(-1)^j{n\choose j}(y-j)^n\quad(0\leqslant y\leqslant n)
\]
\(\texttt{2022/7/20 update}\)：我突然悟了。这不就是容斥吗？有什么奇怪的！
单个变量的概率密度函数（\(\text{probability density function}\)）就是 \(f(x)=[0\leqslant x\leqslant 1]\) 嘛。我们将其拓宽到 \(f(x)=[0\leqslant x]\)，再减去 \(f(x)=[1\leqslant x]\) 不就行了！
因此问题变为求出 \(f(x)=[0\leqslant x]\) 的 \(n\) 次累加的累积分布函数（虽然它不能被认为是概率了），设为 \(g_n(x)\)，显然有
\[g_n(x)=\int_{0}^{x}g_{n-1}(t)\text{d}t=\frac{x^n}{n!}
\]
对它的直观理解：考虑随机变量 \(\{x_1,\dots,x_k\}\) 的前缀和，这些值在 \([0,x]\) 之间，且与 \(\{x\}\) 是双射关系。因此在 \([0,x]\) 之间撒点，作为前缀和数组即可。而撒点顺序有 \((n!)\) 种，要去重。
然后容斥。钦定 \(\geqslant 1\) 相当于目标总和 \(-1\) 。因此结果就是
\[\begin{align*}
f(y;n)
&=\sum_{j=0}^{\lfloor y\rfloor}(-1)^j{n\choose j}g_n(y{-}j)\\
&=\frac{1}{n!}\sum_{j=0}^{\lfloor y\rfloor}(-1)^j{n\choose j}(y-j)^n
\end{align*}
\]
根据上面的解释，显然 \(y>n\) 是不会带来任何问题的。从式子本身出发也能说明这一点：作二项式展开后，将 \(j\) 的幂次替换成下降幂，则组合数求和是行交错和，是 \(0\)，除非是 \(j^n\) 提供的 \(j^{\underline n}\)，该项将提供 \((n!)\) 的贡献。
外层除以 \((n!)\) 就恰好得到 \(1\)，与预期相符。
以前尝试过的归纳法证明。记 \(k=\lfloor y\rfloor,\;r=y-k\) 。
\[f(y;n{+}1)=\int_{0}^{r}f(y{-}t;n)\text dt+\int_{r}^1f(y{-}t;n)\text dt
\]
对于前者
\[\begin{aligned}
\int_{0}^{r}f(y{-}t;n)\text dt
&=\int_{0}^{r}\text dt\sum_{i=0}^{k}\frac{(-1)^i}{n!}{n\choose i}(y-t-i)^n\\
&=\sum_{i=0}^{k}\frac{(-1)^i}{n!}{n\choose i}\int_{0}^{r}(y-t-i)^n\text dt\\
&=\sum_{i=0}^{k}\frac{(-1)^i}{n!}{n\choose i}\left[\frac{(y-i)^{n+1}-(y-i-r)^{n+1}}{n+1}\right]
\end{aligned}
\]
后者的结果类似，注意 \(i\) 的枚举范围有变化。
\[\int_{r}^{1}f(y{-}t;n)\text dt=\sum_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^i}{(n+1)!}{n\choose i}\left[(y-i-r)^{n+1}-(y-i-1)^{n+1}\right]
\]
二者相加即得
\[\begin{aligned}
&\sum_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^i}{(n+1)!}{n\choose i}[(y-i)^{n+1}-(y-i-1)^{n+1}]\\
&\quad\quad\quad+\frac{(-1)^k}{n!}{n\choose i}[(y-k)^{n+1}-(y-k-r)^{n+1}]\\
=&\sum_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^i}{(n+1)!}{n\choose i}(y-i)^{n+1}+\sum_{i=1}^{k}\frac{(-1)^i}{(n+1)!}{n\choose i-1}(y-i)^{n+1}\\
&\quad\quad\quad+\frac{(-1)^k}{n!}{n\choose k}(y-k)^{n+1}\\
=&\sum_{i=0}^{k}\frac{(-1)^i}{(n+1)!}{n+1\choose i}(y-i)^{n+1}
\end{aligned}
\]
