Irwin–Hall Distribution

其实不是题目太 $\text{mathematical}$，只是我太愚钝了。

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欧文–霍尔分布：$n$ 个在 $[0,1]$ 内均匀分布的独立随机变量 $\{x_i\}$，其和 $y=\sum x_i$ 的累积分布函数（$\text{Cumulative Distribution Function}$）为

$$f(y;n)=\frac{1}{n!}\sum _{j=0}^{\lfloor y\rfloor }(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(y-j{)}^n(0⩽y⩽n)$$

$\mathtt{\text{2022/7/20 update}}$：我突然悟了。这不就是容斥吗？有什么奇怪的！

单个变量的概率密度函数（$\text{probability density function}$）就是 $f(x)=[0⩽x⩽1]$ 嘛。我们将其拓宽到 $f(x)=[0⩽x]$，再减去 $f(x)=[1⩽x]$ 不就行了！

因此问题变为求出 $f(x)=[0⩽x]$ 的 $n$ 次累加的累积分布函数（虽然它不能被认为是概率了），设为 $g_n(x)$，显然有

$$g_n(x)={\int }_0^x{g}_{n-1}(t)\text{d}t=\frac{x^n}{n!}$$

对它的直观理解：考虑随机变量 $\{x_1,\dots ,x_k\}$ 的前缀和，这些值在 $[0,x]$ 之间，且与 $\{x\}$ 是双射关系。因此在 $[0,x]$ 之间撒点，作为前缀和数组即可。而撒点顺序有 $(n!)$ 种，要去重。

然后容斥。钦定 $⩾1$ 相当于目标总和 $-1$ 。因此结果就是

$$\begin{array}{rl}f(y;n)& =\sum _{j=0}^{\lfloor y\rfloor }(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})g_n(y-j)\\ & =\frac{1}{n!}\sum _{j=0}^{\lfloor y\rfloor }(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(y-j{)}^n\end{array}$$

根据上面的解释，显然 $y>n$ 是不会带来任何问题的。从式子本身出发也能说明这一点：作二项式展开后，将 $j$ 的幂次替换成下降幂，则组合数求和是行交错和，是 $0$，除非是 $j^n$ 提供的 $j^{\underset{―}{n}}$，该项将提供 $(n!)$ 的贡献。

外层除以 $(n!)$ 就恰好得到 $1$，与预期相符。

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以前尝试过的归纳法证明。记 $k=\lfloor y\rfloor ,r=y-k$ 。

$$f(y;n+1)={\int }_0^{r}f(y-t;n)\text{d}t+{\int }_r^{1}f(y-t;n)\text{d}t$$

对于前者

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{r}f(y-t;n)\text{d}t& ={\int }_0^r\text{d}t\sum _{i=0}^k\frac{(-1{)}^i}{n!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(y-t-i{)}^n\\ & =\sum _{i=0}^k\frac{(-1{)}^i}{n!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}){\int }_0^r(y-t-i{)}^n\text{d}t\\ & =\sum _{i=0}^k\frac{(-1{)}^i}{n!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\left[\frac{(y-i{)}^{n+1}-(y-i-r{)}^{n+1}}{n+1}\right]\end{array}$$

后者的结果类似，注意 $i$ 的枚举范围有变化。

$${\int }_r^{1}f(y-t;n)\text{d}t=\sum _{i=0}^{k-1}\frac{(-1{)}^i}{(n+1)!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})[(y-i-r{)}^{n+1}-(y-i-1{)}^{n+1}]$$

二者相加即得

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=0}^{k-1}\frac{(-1{)}^i}{(n+1)!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})[(y-i{)}^{n+1}-(y-i-1{)}^{n+1}]\\ & +\frac{(-1{)}^k}{n!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})[(y-k{)}^{n+1}-(y-k-r{)}^{n+1}]\\ =& \sum _{i=0}^{k-1}\frac{(-1{)}^i}{(n+1)!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(y-i{)}^{n+1}+\sum _{i=1}^k\frac{(-1{)}^i}{(n+1)!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i-1})(y-i{)}^{n+1}\\ & +\frac{(-1{)}^k}{n!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(y-k{)}^{n+1}\\ =& \sum _{i=0}^k\frac{(-1{)}^i}{(n+1)!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{i})(y-i{)}^{n+1}\end{array}$$