微分学习笔记
微分学习笔记
注意，本人太菜了，只是写下自己的理解，所以可能有很多表述错误、不清晰的地方，请指正。
简介
用来学习多项式、生成函数的工具。
我们知道微积分，而所谓微分就是求导。求导，可以理解为变化量。映射到几何上，也就是一条平滑曲线在某一个点的斜率的极限。我们把一个函数 \(f(x)\) 在平面上每个 \(x\) 对应的斜率构成一个函数 \(f'(x)\)，也就是函数 \(f(x)\) 对应的导函数。我们通常需要求出 \(f'(x)\) 来帮助我们。
简单求导
导数基本定义
\[f'(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]
也就是，变化量。也可以理解为斜率
常数导数为零。
幂函数
\[(x^n)'=nx^{n-1} \]其中 \(n\) 为常数。
证明的话考虑直接按照定义式运算。
注意，\(\frac{1}{x}\) 以及 \(\sqrt{x}\) 都属于这一部分，可以直接计算。
接下来有一个东西：自然常数 \(e\)。\(e\) 为一个无理数，是一个常量。有一个很重要的性质：
指数函数真数为 \(e\) 的情况
\[(e^x)'=e^x \]
也就是说，以 \(e\) 为真数的指数函数求导还是为它自己。或者说，这个就是它的定义——我们想要找的一个指数函数求导后还是它本身，\(e\) 就出现了。
至于 \(e\) 的值是多少呢？\(e\approx 2.718\)，可以写作如下的式子：
\(e\)
\[e=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x \]
\(e\)
\[\begin{aligned} e&=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}+...\\ &=\sum_{i=0}^\infty\frac{1}{i!} \end{aligned} \]
在接下来几个式子种 \(e\) 的作用很大。
指数函数求导
\[(a^x)'=a^x\ln a \]
证明如下：
引理1：对数函数的一个性质
\[\log_ax^n=n\log_ax \]
不做解释。
引理2：导数乘法定理
\[(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x) \]
这个后面会讲。
引理3
\[(e^{2x})'=(e^x\times e^x)'=2e^{2x} \]
套用引理2即可。
引理4
\[(e^{kx})'=ke^{kx} \]
根据引理3 感性理解，懒得严谨证明 \(k\) 不为整数的情况了。
接下来通过这些东西结合即可证明。
指数函数求导证明
\[\begin{aligned} (a^x)'&=(e^{\ln a^x})'\\ &=(e^{x\ln a})'\\ &=\ln a\;e^{x\ln a}\\ &=a^x\ln a\; \end{aligned} \]
自然对数求导
\[(\ln x)'=\frac{1}{x} \]
证明：
自然对数求导证明
\[\begin{aligned} (\ln x)'&=\frac{\ln(x+\Delta x)-\ln(x)}{\Delta x}\\ &=\frac{1}{\Delta x}\ln\left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)\\ &=\frac{1}{\Delta x}\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)\\ \end{aligned} \]设 \(A=\frac{\Delta x}{x}\)
则：
\[\begin{aligned} (\ln x)' &=\frac{1}{Ax}\ln(1+A)\\ &=\frac{1}{x}\ln\left((1+A)^{\frac{1}{A}}\right) \end{aligned} \]发现 \(A\) 趋近与无穷小时，\((1+A)^{\frac{1}{A}}\) 跟 \(e\) 的定义式一模一样，因此我们可以写作：
\[\begin{aligned} (\ln x)' &=\frac{1}{Ax}\ln(1+A)\\ &=\frac{1}{x}\ln\left(e\right)\\ &=\frac{1}{x} \end{aligned} \]
证毕。
对数函数求导
\[(\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a} \]
证明：
对数函数求导证明
需要用到换底公式。
\[\begin{aligned} (\log_a x)'&=\left(\frac{\log_ex}{\log_ea}\right)'=\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)'\\ &=\frac{1}{x\ln a} \end{aligned} \]
这些属于我需要用的，只学了这么多QAQ
还有一些 OI 用不到的，比如三角函数。但是懒得写了
基本运算
还有很多运算定理。
加法
\[(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x) \]
在代数上很好理解，\(\Delta x\) 不变，\(\Delta y\) 相加。
乘法
\[(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x) \]
这个可以理解，考虑微分的本质是微小变化量，所以对应到面积，长宽分别为 \(f(x),g(x)\)，然后微笑变化后的面积，增加的刚好就是这个东西。
除法
\[\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g(x)^2} \]
使用链式法则和乘法法则即可。
摆了。
复合函数
\[f(g(x))'=f'(g(x))g'(x) \]
考虑微小变化量 \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)，然后 \(f(x)\) 中 \(x\) 的变化量中是\(g'(x)\)，所以要乘上后面那个东西。
我太菜了QAQ
说不定回来填坑
填了一部分。
