微分学习笔记

微分学习笔记

注意，本人太菜了，只是写下自己的理解，所以可能有很多表述错误、不清晰的地方，请指正。

简介

好文！

用来学习多项式、生成函数的工具。

我们知道微积分，而所谓微分就是求导。求导，可以理解为变化量。映射到几何上，也就是一条平滑曲线在某一个点的斜率的极限。我们把一个函数 $f(x)$ 在平面上每个 $x$ 对应的斜率构成一个函数 $f'(x)$，也就是函数 $f(x)$ 对应的导函数。我们通常需要求出 $f'(x)$ 来帮助我们。

简单求导

导数基本定义

$$f'(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

也就是，变化量。也可以理解为斜率

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常数导数为零。

幂函数

$$(x^n)'=nx^{n-1}$$

其中 $n$ 为常数。

证明的话考虑直接按照定义式运算。

注意，$\frac{1}{x}$ 以及 $\sqrt{x}$ 都属于这一部分，可以直接计算。

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接下来有一个东西：自然常数 $e$。$e$ 为一个无理数，是一个常量。有一个很重要的性质：

指数函数真数为 $e$ 的情况

$$(e^x)'=e^x$$

也就是说，以 $e$ 为真数的指数函数求导还是为它自己。或者说，这个就是它的定义——我们想要找的一个指数函数求导后还是它本身，$e$ 就出现了。

至于 $e$ 的值是多少呢？$e\approx 2.718$，可以写作如下的式子：

$e$

$$e=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$$

$e$

$$\begin{aligned} e&=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}+...\\ &=\sum_{i=0}^\infty\frac{1}{i!} \end{aligned}$$

在接下来几个式子种 $e$ 的作用很大。

指数函数求导

$$(a^x)'=a^x\ln a$$

证明如下：

引理1：对数函数的一个性质

$$\log_ax^n=n\log_ax$$

不做解释。

引理2：导数乘法定理

$$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)$$

这个后面会讲。

引理3

$$(e^{2x})'=(e^x\times e^x)'=2e^{2x}$$

套用引理2即可。

引理4

$$(e^{kx})'=ke^{kx}$$

根据引理3 感性理解，懒得严谨证明 $k$ 不为整数的情况了。

接下来通过这些东西结合即可证明。

指数函数求导证明

$$\begin{aligned} (a^x)'&=(e^{\ln a^x})'\\ &=(e^{x\ln a})'\\ &=\ln a\;e^{x\ln a}\\ &=a^x\ln a\; \end{aligned}$$

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自然对数求导

$$(\ln x)'=\frac{1}{x}$$

证明：

自然对数求导证明

$$\begin{aligned} (\ln x)'&=\frac{\ln(x+\Delta x)-\ln(x)}{\Delta x}\\ &=\frac{1}{\Delta x}\ln\left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)\\ &=\frac{1}{\Delta x}\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)\\ \end{aligned}$$

设 $A=\frac{\Delta x}{x}$

则：

$$\begin{aligned} (\ln x)' &=\frac{1}{Ax}\ln(1+A)\\ &=\frac{1}{x}\ln\left((1+A)^{\frac{1}{A}}\right) \end{aligned}$$

发现 $A$ 趋近与无穷小时，$(1+A)^{\frac{1}{A}}$ 跟 $e$ 的定义式一模一样，因此我们可以写作：

$$\begin{aligned} (\ln x)' &=\frac{1}{Ax}\ln(1+A)\\ &=\frac{1}{x}\ln\left(e\right)\\ &=\frac{1}{x} \end{aligned}$$

证毕。

对数函数求导

$$(\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a}$$

证明：

对数函数求导证明

需要用到换底公式。

$$\begin{aligned} (\log_a x)'&=\left(\frac{\log_ex}{\log_ea}\right)'=\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)'\\ &=\frac{1}{x\ln a} \end{aligned}$$

这些属于我需要用的，只学了这么多QAQ

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还有一些 OI 用不到的，比如三角函数。但是懒得写了

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基本运算

还有很多运算定理。

加法

$$(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$$

在代数上很好理解，$\Delta x$ 不变，$\Delta y$ 相加。

乘法

$$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)$$

这个可以理解，考虑微分的本质是微小变化量，所以对应到面积，长宽分别为 $f(x),g(x)$，然后微笑变化后的面积，增加的刚好就是这个东西。

除法

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g(x)^2}$$

使用链式法则和乘法法则即可。

摆了。

复合函数

$$f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)$$

考虑微小变化量 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$，然后 $f(x)$ 中 $x$ 的变化量中是$g'(x)$，所以要乘上后面那个东西。

我太菜了QAQ

说不定回来填坑

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填了一部分。