斯特林数学习笔记

注：本篇只为作者自己看懂，方便以后复习。

注意：如无特殊说明，以下公式的范围皆为 $n\ge0$ 且 $n$ 为整数。

因为我太菜啦，所以很多东西都只有最浅显的部分。

Part 1.定义

斯特林数分为两种，分别是第一类、第二类。其中第二类较为常用。

第二类斯特林数

定义：第二类斯特林数 $\begin{Bmatrix} n \\k \end{Bmatrix}$ 表示把 $n$ 个不同元素划分成 $m$ 个相同的集合中（不能有空集）的方案数。

通项公式：

1.1 第二类斯特林数通项

$\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}+(k-1)\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix}$

推导的话考虑第 $n$ 个数独立放在新的集合，此时系数为 $1$ 。或者放在新的集合，有 $k-1$ 种可能。

第一类斯特林数

定义：第一类斯特林数 $\begin{bmatrix}n\\ m\end{bmatrix}$ 表示将 $n$ 个不同元素构成 $m$ 个轮换的数目。

其中，轮换也可称作原排列，既如果两个排列可以通过旋转相等，那么他们就是相等的。感性理解一下就好。

通项公式：

1.2 第一类斯特林数通项

$\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}$

对比一下的话，发现这两个式子十分的相像。实际上，这两类斯特林数关系非常紧密（不然为啥名字一样呢）

推导的话类似，考虑第 $n$ 个数。然后插入的话考虑轮换对应排列就差不多。

注意：轮换与排列是双射关系，考虑排列 $a_i$ 与 $i$ 连边组成的连通块组成的环即为不同的轮换。

注意，斯特林数通常出现在各种神秘推式子题，所以各种恒等式才是最重要的。

Part 2.恒等式

2.1

$\sum_{k=0}^n \begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}=n!$

轮换与排列双射。

2.2

$x^n=\sum_{k=0}\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}x^\underline{k}$

证明的话考虑有 $x$ 种颜色， $n$ 个格子，那么两边的意义都是给 $n$ 个格子染成 $x$ 种颜色的方案数。当然，用数学归纳法证明也是可以的。

$k$ 得有意义范围为 $\operatorname{min}(n,x)$ ，因此这个式子常常用来优化一些 $n$ 很大的问题，把枚举上限优化。

2.3

$x^\overline{n}=\sum_{k=0}\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}x^k$

$x^\overline{n}=x(x+1)(x+2)...(x+n-2)(x+n-1)$ ，然后考虑这个多项式的系数，发现刚好就是第一类斯特林数。证明的话可以归纳法证明，但是我们直接设 dp $f_{i,j}$ 表示 $[x^j]x^\overline{i}$ ，然后推一下递推式发现刚好是第一类斯特林数，就证完了。这里感谢码学长教我这个方法。

2.2 和 2.3 两个式子的样子很是相似。实际上，他们也可以作为斯特林数的定义式，人们需要研究上升幂、下降幂以及正常幂运算的关系，然后发现可以用斯特林数来将他们连接起来。

2.4

$x^n=\sum_{k=0}\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}(-1)^{n-k}x^\overline{k}$

这个式子不会，开摆

2.5

$x^\underline{n}=\sum_{k=0}\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}(-1)^{n-k}x^k$

发现与 2.3 很相似。原因：

x^{\underline{4}} = x (x - 1) (x - 2) (x - 3) = x^{4} - 6 x^{3} + 11 x^{2} - 6 x

$x^\underline{4}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4-6x^3+11x^2-6x$

x^{\bar{4}} = x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = x^{4} + 6 x^{3} + 11 x^{2} + 6 x

$x^\overline{4}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^4+6x^3+11x^2+6x$

发现相差的只有符号，因此改一下符号即可。

以上四个属于较为常见的。

从通常幂转换到上下降次幂一般用第二类，反之则用第一类。然后从小的转换到大的则需要加符号。

斯特林反演

2.6

$f(n)=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}g(k)\Longleftrightarrow g(n)=\sum_{k=0}^n\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}(-1)^{n-k}f(k)$

证明的话参考这个

首先由结论：

2.6.1

$\sum_{k=0}\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\begin{bmatrix}k\\m\end{bmatrix}(-1)^{n-k}=[n=m]$

证明：

2.6 证明

$\begin{aligned} f(n)&=\sum_{i=0}^n[i=n]f(i)\\ &=\sum_{i=0}^nf(i)\sum_{j=i}^n\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}\begin{bmatrix}j\\i\end{bmatrix}(-1)^{n-k}\\ &=\sum_{j=0}^n\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}\sum_{i=0}^j \begin{bmatrix}j\\i\end{bmatrix}(-1)^{j-i}f(i)\\ &=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}g(k) \end{aligned}$
建议不要看这个证明，有错误。只是给我自己看的