分数规划-学习笔记

简介

分数规划是处理这样一种问题：有 \(n\) 个物品，每个物品有两个权值 \(a_i,b_i\) ，选择一些物品集合 \(X\)，最大化以下柿子：

\[\frac{\sum_{i=1}^{k}a_{X_i}}{\sum_{i=1}^{k}b_{X_i}} \]

更加形象的，选一些物品，使得这些物品的 \(a_i\) 和与 \(b_i\) 和的比值最大。

解决

这种问题涉及到比值，也就是说，你可以选择 \(b_i\) 小的，也可以选择 \(a_i\) 大的，选择一个物品会造成多方面的影响，因此无法直接解决。但我们可以侧面考虑这个问题，给一个比值 \(mid\) ，判断柿子是否可以取到 \(mid\) 。也就是说，比值已经固定，只需要判断就可以了。设原式分子为 \(A\)，分母为 \(B\)，我们相当于要判断是否存在 \(A,B\) 满足：

\[\frac{A}{B}>=mid\\ A>=mid\times B\\ \left(\sum_{i=1}^{k}a_{X_i}\right)>=\left(\sum_{i=1}^{k}b_{X_i}\times mid\right)\\ \left(\sum_{i=1}^{k}a_{X_i}\right)-\left(\sum_{i=1}^{k}b_{X_i}\times mid\right)>=0\\ \]

相当于把 \(b_i\) 全部乘以 \(mid\) ，判断是否能够存在 \(a_i-b_i\times mid >=0\)。这样就很简单了，因为这个东西满足单调性，因此直接二分就可以了。当然很多题目会加一些限制，这时候就需要具体题目具体讨论，\(check\) 的时候使用更多东西。