分数规划-学习笔记

简介

分数规划是处理这样一种问题：有 $n$ 个物品，每个物品有两个权值 $a_i,b_i$ ，选择一些物品集合 $X$ ，最大化以下柿子：

\frac{\sum_{i = 1}^{k} a_{X_{i}}}{\sum_{i = 1}^{k} b_{X_{i}}}

$\frac{\sum_{i=1}^{k}a_{X_i}}{\sum_{i=1}^{k}b_{X_i}}$

更加形象的，选一些物品，使得这些物品的 $a_i$ 和与 $b_i$ 和的比值最大。

解决

这种问题涉及到比值，也就是说，你可以选择 $b_i$ 小的，也可以选择 $a_i$ 大的，选择一个物品会造成多方面的影响，因此无法直接解决。但我们可以侧面考虑这个问题，给一个比值 $mid$ ，判断柿子是否可以取到 $mid$ 。也就是说，比值已经固定，只需要判断就可以了。设原式分子为 $A$ ，分母为 $B$ ，我们相当于要判断是否存在 $A,B$ 满足：

\frac{A}{B} >= m i d A >= m i d \times B (\sum_{i = 1}^{k} a_{X_{i}}) >= (\sum_{i = 1}^{k} b_{X_{i}} \times m i d) (\sum_{i = 1}^{k} a_{X_{i}}) - (\sum_{i = 1}^{k} b_{X_{i}} \times m i d) >= 0

$\frac{A}{B}>=mid\\ A>=mid\times B\\ \left(\sum_{i=1}^{k}a_{X_i}\right)>=\left(\sum_{i=1}^{k}b_{X_i}\times mid\right)\\ \left(\sum_{i=1}^{k}a_{X_i}\right)-\left(\sum_{i=1}^{k}b_{X_i}\times mid\right)>=0\\$

相当于把 $b_i$ 全部乘以 $mid$ ，判断是否能够存在 $a_i-b_i\times mid >=0$ 。这样就很简单了，因为这个东西满足单调性，因此直接二分就可以了。当然很多题目会加一些限制，这时候就需要具体题目具体讨论， $check$ 的时候使用更多东西。