CF1869B 2D Traveling

思路

首先思考，除了 $a$ 和 $b$ 我们不应该到达任何非主要城市。

理由很简单，两点之间线段最短，如果我们目前要从 $u$ 前往 $v$ 且 $u$ 和 $v$ 不都是主要城市，即 $u$ 到 $v$ 需要花钱，那么如果再选择一个不是主要城市的 $k$，那么就要增加若干的花费。当然，增加的花费可能为 $0$，但是我们完全没必要多转几次，因为这无法让答案变得更优。

但是主要城市之间可以随便转乘，因为都不增加花费，那么就有两种方式：

• 直接从 $a$ 到 $b$。

• 从 $a$ 到离它最近的主要城市，途中转移几次到离 $b$ 最近的主要城市，再到 $b$。

如果令 $dis(i,j)$ 表示从 $i$ 到 $j$ 的花费，$fa$ 表示离 $a$ 最近的主要城市，$fb$ 表示离 $b$ 最近的主要城市，那么答案就是 $\min(dis(a,b),dis(a,fa)+dis(fa,fb)+dis(fb,b))$。

首先 $dis(i,j)$ 可以直接计算得出，所以不需要考虑，又因为 $dis(fa,fb)=0$ 所以也不需要考虑，我们只需要提前预处理出 $fa$ 和 $fb$，或者预处理 $dis(a,fa)$ 和 $dis(b,fb)$ 即可。

AC code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long T,n,k,a,b,x[200005],y[200005],ans1,ans2;
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&a,&b),ans1=ans2=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
		for(long long i=1;i<=n;++i) scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);
		if(a<=k) ans1=0;//注意特判a、b本身就是主要城市的情况
		else for(long long i=1;i<=k;++i) ans1=min(ans1,abs(x[i]-x[a])+abs(y[i]-y[a]));
		if(b<=k) ans2=0;
		else for(long long i=1;i<=k;++i) ans2=min(ans2,abs(x[i]-x[b])+abs(y[i]-y[b]));
		printf("%lld\n",min(ans1+ans2,abs(x[a]-x[b])+abs(y[a]-y[b])));
	}
	return 0;
}