P9575 「TAOI-2」喵了个喵 Ⅳ
思路
考试的时候打死没想出来，一直在想暴力和质因数分解，我实在是太弱了，比赛后看了官方题解才恍然大悟，于是来蹭写篇题解。
首先是一些特殊点：
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当 \(n\) 是偶数时，显然 \(x\) 可以取 \(1\)，这样 \(\gcd\) 就都是 \(1\)，然后随便平分就好了。恭喜你，你获得了 \(2\) 分。
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当 \(n\) 不是偶数，且 \(a_i\) 均为奇数，那么无论怎么 \(\gcd\) 都是奇数，所以 \(\gcd\) 之和也一定是奇数，那必然无法划分，那么就是无解。恭喜你，你又获得了 \(8\) 分（蒟蒻的我比赛的时候连这都没想到，痛失 \(8\) 分）。
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当 \(n\) 不是偶数时，这种情况比较难办，下面专门详细讲解。
首先容易发现 \(x=1\) 时，\(\gcd\) 之和就是 \(n\)，但是 \(n\) 为奇数，显然不满足要求。
这样，我们可以尝试增大 \(x\) 的倍数。
假设扩大了 \(x\) 共 \(k\) 倍，那么 \(\gcd(a_i,x)\) 的变化一定是扩大 \(l\) 倍，其中 \(l\) 是 \(k\) 的因子，那么对于和的贡献是 \((l-1)\times \gcd(a_i,x)\)。
这样的话，只有 \(l\) 为偶数，\(\gcd(a_i,x)\) 为奇数时，贡献才能增加奇数，才能使和变为偶数。
所以我们扩大倍数扩大奇数倍是毫无作用的，扩大倍数含奇数因子意义也不大，所以我们要扩大的倍数只有 \(2^s,s\in \mathbb{Z}\) 最有效。
那么 \(s\) 取几最合适呢？
有两种方法，第一种是挨个试，试到 \(2^s\) 比最大的 \(a_i\) 还要大为止，不过没有试过，不清楚会不会 TLE。
第二种，我们可以随意构造一个同时含奇数、偶数的数列，如果奇数的个数奇数个，那就意味着 \(x\) 不能取 \(1\)，如果把 \(x\) 扩大 \(2\) 倍，奇数的个数不会变，其余的 \(\gcd\) 要么不变，要么也扩大 \(2\) 倍，和仍然是偶数，所以这种情况一定是无解。那么，我们可以尝试把问题归纳到这种情况解决。
那么，怎么找到那个数呢，这里推荐一种比较方便的方法，那就是 \(lowbit\)。
\(lowbit(x)\) 可以取出 \(x\) 在二进制形式下的最末位的 \(1\) 以及后面的 \(0\)。举个例子，\(12\) 的二进制形式是 \(1100\)，那么 \(lowbit(12)=4\)。（\(4\) 的二进制形式是 \(100\)）
那么，怎么计算 \(lowbit\) 呢？
其实很简单，只需要一行代码就能搞定：inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
原理就要涉及负数的编码了，负数都是正数的反码再加 \(1\) 得到的。
例如 \(12\) 的反码就是 \(0011\)（省略了前面若干位 \(1\)），再加 \(1\) 就是 \(0100\)，再与原数进行按位与计算，就得到了 \(lowbit\)。
总而言之就是，二进制末尾有连续多少个 \(0\)，反码就有连续多少个 \(1\)，再加上一个 \(1\) 使其进位，最后与原数一样的就只有最后一个 \(1\) 及其后面的 \(0\)。
所以我们只需要把每个数都除以最小的 \(lowbit\) 就可以得到上述的情况。
我们再统计奇数数量，如果数量为偶，则有解；否则，无解。
那么，我们再确定 \(x=2\)（除后的，输出记得乘回去），问题就被转化为了有偶数个 \(1\)，和奇数个 \(2\) 如何分配了。
只需要把两个 \(1\) 放在第一组，其他 \(1\) 平分，\(2\) 平分，然后把多出的一个 \(2\) 给第二组就好了。
AC 代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
int n,a[100005],low=1000005,sum,flag,cnt1,cnt2=1;
int main()
{
scanf("%d",&n);
if(n%2==0)//先把n为偶的判断了
{
printf("1\n");
for(int i=1;i<=n/2;++i) printf("01");
exit(0);
}
for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]),low=min(low,lowbit(a[i]));//记录最小lowbit
for(int i=1;i<=n;++i) a[i]/=low,sum+=a[i]%2;
if(sum%2) printf("-1"),exit(0);
printf("%d\n",2*low);//记得乘回去
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(a[i]%2)
{
if(flag<2) flag++,a[i]=0;//flag记录在第一组单独放了多少个了
else a[i]=cnt1,cnt1^=1;//然后就是平均分配了
}
else
{
a[i]=cnt2,cnt2^=1;//从第二组开始平均分配
}
}
for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d",a[i]);
}
