P9575 「TAOI-2」喵了个喵 Ⅳ

思路

考试的时候打死没想出来，一直在想暴力和质因数分解，我实在是太弱了，比赛后看了官方题解才恍然大悟，于是来蹭写篇题解。

首先是一些特殊点：

1. 当 $n$ 是偶数时，显然 $x$ 可以取 $1$，这样 $\gcd$ 就都是 $1$，然后随便平分就好了。恭喜你，你获得了 $2$ 分。

2. 当 $n$ 不是偶数，且 $a_i$ 均为奇数，那么无论怎么 $\gcd$ 都是奇数，所以 $\gcd$ 之和也一定是奇数，那必然无法划分，那么就是无解。恭喜你，你又获得了 $8$ 分（蒟蒻的我比赛的时候连这都没想到，痛失 $8$ 分）。

3. 当 $n$ 不是偶数时，这种情况比较难办，下面专门详细讲解。

首先容易发现 $x=1$ 时，$\gcd$ 之和就是 $n$，但是 $n$ 为奇数，显然不满足要求。

这样，我们可以尝试增大 $x$ 的倍数。

假设扩大了 $x$ 共 $k$ 倍，那么 $\gcd(a_i,x)$ 的变化一定是扩大 $l$ 倍，其中 $l$ 是 $k$ 的因子，那么对于和的贡献是 $(l-1)\times \gcd(a_i,x)$。

这样的话，只有 $l$ 为偶数，$\gcd(a_i,x)$ 为奇数时，贡献才能增加奇数，才能使和变为偶数。

所以我们扩大倍数扩大奇数倍是毫无作用的，扩大倍数含奇数因子意义也不大，所以我们要扩大的倍数只有 $2^s,s\in \mathbb{Z}$ 最有效。

那么 $s$ 取几最合适呢？

有两种方法，第一种是挨个试，试到 $2^s$ 比最大的 $a_i$ 还要大为止，不过没有试过，不清楚会不会 TLE。

第二种，我们可以随意构造一个同时含奇数、偶数的数列，如果奇数的个数奇数个，那就意味着 $x$ 不能取 $1$，如果把 $x$ 扩大 $2$ 倍，奇数的个数不会变，其余的 $\gcd$ 要么不变，要么也扩大 $2$ 倍，和仍然是偶数，所以这种情况一定是无解。那么，我们可以尝试把问题归纳到这种情况解决。

那么，怎么找到那个数呢，这里推荐一种比较方便的方法，那就是 $lowbit$。

$lowbit(x)$ 可以取出 $x$ 在二进制形式下的最末位的 $1$ 以及后面的 $0$。举个例子，$12$ 的二进制形式是 $1100$，那么 $lowbit(12)=4$。（$4$ 的二进制形式是 $100$）

那么，怎么计算 $lowbit$ 呢？

其实很简单，只需要一行代码就能搞定：inline int lowbit(int x){return x&(-x);}

原理就要涉及负数的编码了，负数都是正数的反码再加 $1$ 得到的。

例如 $12$ 的反码就是 $0011$（省略了前面若干位 $1$），再加 $1$ 就是 $0100$，再与原数进行按位与计算，就得到了 $lowbit$。

总而言之就是，二进制末尾有连续多少个 $0$，反码就有连续多少个 $1$，再加上一个 $1$ 使其进位，最后与原数一样的就只有最后一个 $1$ 及其后面的 $0$。

所以我们只需要把每个数都除以最小的 $lowbit$ 就可以得到上述的情况。

我们再统计奇数数量，如果数量为偶，则有解；否则，无解。

那么，我们再确定 $x=2$（除后的，输出记得乘回去），问题就被转化为了有偶数个 $1$，和奇数个 $2$ 如何分配了。

只需要把两个 $1$ 放在第一组，其他 $1$ 平分，$2$ 平分，然后把多出的一个 $2$ 给第二组就好了。

AC 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
int n,a[100005],low=1000005,sum,flag,cnt1,cnt2=1;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	if(n%2==0)//先把n为偶的判断了
	{
		printf("1\n");
		for(int i=1;i<=n/2;++i) printf("01");
		exit(0);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]),low=min(low,lowbit(a[i]));//记录最小lowbit
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]/=low,sum+=a[i]%2;
	if(sum%2) printf("-1"),exit(0);
	printf("%d\n",2*low);//记得乘回去
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(a[i]%2)
		{
			if(flag<2) flag++,a[i]=0;//flag记录在第一组单独放了多少个了
			else a[i]=cnt1,cnt1^=1;//然后就是平均分配了
		}
		else
		{
			a[i]=cnt2,cnt2^=1;//从第二组开始平均分配
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d",a[i]);
}