UOJ#7 NOI2014 购票 点分治+凸包二分 斜率优化DP

【NOI2014】购票

链接：http://uoj.ac/problem/7

因为太麻烦了，而且暴露了我很多学习不扎实的问题，所以记录一下具体做法。

主要算法:点分治+凸包优化斜率DP。

因为$q_i$不单调，所以需要在凸包上二分求最优解。

因为有$L_i$的限制，并且删除凸包左边的点会导致一些问题，所以就改变枚举顺序（倒着加入祖先链），使问题变成不用删点。因此直接套用凸包二分求解的模板。

大致流程：

Tree_Divide_conquer(fa[x]).//先求出祖先链的Dp值
Get_all_son();//将除了x父亲那一端，该重心层的点都放A中
sort(A+1,A+1+now);//按dis_i-L_i递减排序
for(int i=1,t=fa[x];i<=now;i++)
{
    for(;t!=fa[up]&&dis[t]>=dis[A[i]]-l[A[i]];t=fa[t])//up记录该重心层深度最浅的点的父亲
        ADD(t);
    UPD(A[i]);//在凸包上二分
}
Tree_Divide_conquer(....)//分治其他子树

Code:

#include<cstdio>
#include<algorithm>

typedef long long ll;
template<class T>
inline void read(T&x)
{
    x=0;bool f=0;char c=getchar();
    while((c<'0'||c>'9')&&c!='-')c=getchar(); if(c=='-')f=1,c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    x=f?-x:x;
}
const int MAXN(200010);
const ll INF(0x7fffffffffffffff);
struct Node{int nd,nx;}bot[MAXN<<1];int tot,first[MAXN];
void add(int a,int b){bot[++tot]=(Node){b,first[a]},first[a]=tot;}
int n,t,fa[MAXN],p[MAXN];ll f[MAXN],l[MAXN],dis[MAXN],s[MAXN],q[MAXN],last[MAXN];
//===================================var
int st[MAXN],tp;
ll sum(int x,int y)
{
    return f[y]+(dis[x]-dis[y])*(ll)p[x]+q[x];
}
double slope(int u,int v)
{
    return 1.0*(f[u]-f[v])/(dis[u]-dis[v]);
}
void UPD(int x)
{
int li=1,ri=tp-1,mid,Ans=tp;
    for(;li<=ri;)
    {
        mid=(li+ri)>>1;
        if(slope(st[mid+1],st[mid])<=p[x])ri=mid-1,Ans=mid;else li=mid+1;
    }
    if(Ans<=tp&&tp)
    {
        ll tmp=sum(x,st[Ans]);
        if(f[x]>=tmp)f[x]=tmp,last[x]=st[Ans];
    }
}
void ADD(int x)
{
    while(tp>1&&slope(st[tp-1],st[tp])<slope(st[tp],x))
        tp--;
    st[++tp]=x;
}
//===================================斜率优化/凸包
int size[MAXN],big[MAXN],col[MAXN],root[MAXN],flag[MAXN],all;
void Get_size(int x,int f)
{
    size[x]=1;big[x]=0;
    for(int v=first[x];v;v=bot[v].nx)
    if(bot[v].nd!=f&&flag[bot[v].nd]==0)
    {
        Get_size(bot[v].nd,x);
        size[x]+=size[bot[v].nd];
        big[x]=std::max(big[x],size[bot[v].nd]);
    }
}
void Get_root(int x,int f)
{
    col[x]=col[f];
    for(int v=first[x];v;v=bot[v].nx)
    if(bot[v].nd!=f&&flag[bot[v].nd]==0)
        Get_root(bot[v].nd,x);
    big[x]=std::max(big[x],all-size[x]);
    if(big[x]*2<=all)root[col[x]]=x;
}
int A[MAXN],now;
bool cmp(int a,int b){return dis[a]-l[a]>dis[b]-l[b];}
void Get_ans(int x,int f)
{
    for(int v=first[x];v;v=bot[v].nx)
    if(bot[v].nd!=f&&flag[bot[v].nd]==0)
        Get_ans(bot[v].nd,x);
    A[++now]=x;
}
void Tree_Dive_And_Conquer(int x)
{
int up=x;while(!flag[up])up=fa[up];
    flag[x]=1;
    for(int v=first[x];v;v=bot[v].nx)
    if(!flag[bot[v].nd])
    {
        col[x]=bot[v].nd;
        Get_size(bot[v].nd,x);all=size[bot[v].nd];
        Get_root(bot[v].nd,x);
    }
    if(!flag[fa[x]])Tree_Dive_And_Conquer(root[fa[x]]);
    A[now=1]=x;
    for(int v=first[x];v;v=bot[v].nx)
    if(!flag[bot[v].nd])Get_ans(bot[v].nd,x);
    std::sort(A+1,A+1+now,cmp);
    tp=0;
    for(int i=1,t=fa[x];i<=now;i++)
    {
        for(;t!=fa[up]&&dis[t]>=dis[A[i]]-l[A[i]];t=fa[t])
            ADD(t);
        UPD(A[i]);
    }
    for(int v=first[x];v;v=bot[v].nx)
    if(!flag[bot[v].nd])Tree_Dive_And_Conquer(root[bot[v].nd]);
}//O(nlog^2n)
void run()
{
    Get_size(1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        big[i]=std::max(big[i],n-size[i]);
        if(big[i]*2<=n)root[0]=i;
    }
    flag[0]=1;Tree_Dive_And_Conquer(root[0]);
}
//===================================点分治
int main()
{
    freopen("C.in","r",stdin);
    freopen("C.out","w",stdout);
    read(n);read(t);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        read(fa[i]);read(s[i]);read(p[i]);read(q[i]);read(l[i]);
        add(i,fa[i]);add(fa[i],i);dis[i]=dis[fa[i]]+s[i];f[i]=INF;
    }
    run();
    for(int i=2;i<=n;i++)printf("%lld\n",f[i]);
    return 0;
}