BZOJ 2851: 极限满月 虚树 or 树链的并

2851: 极限满月

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Description

Input

第一行一个正整数。

之后行描述集合。第一个数表示集合中元素的个数，之后给出集合中的元素。

之后一行一个正整数。

之后行每行描述一个询问。格式与之前相同。

Output

对于每个询问，在单独的一行内输出答案。

Sample Input

7
0
1 1
1 1
1 2
2 2 3
0
2 2 6
3
2 2 3
2 3 5
2 4 5

Sample Output

3
3
4

HINT

/*对于100% 的数据，1 <= n, m <= 50000，1 <= 10^9，-10^9 <= a, b, x, y <= 10^9。*/

[Discuss]里的正确数据范围：

n<=200000 m<=200000
A集合元素总个数<=300000
输入总数<=2500000

Source

Violet 0

 

想法：

如果把Bi当成红点，i当成蓝点，B0为一个虚红点，边V->U为U∈V。因为"a∈Ak=>a<k"，所以每个Bi(i>0)红点只会连一个蓝点与一个红点。因此红点构成一棵树。

显然易见，Bi所连的红点为{Bj|j∈Ai}的lca。于是答案变成求集合{S}中所有红点所包含蓝点的并的大小。因为每个点蓝点只会被一个红点连边，所以可以把蓝点捆在该红点上，答案就变成统计{S}中所有红点的祖先并(除去B0虚红点)的大小。于是可以使用虚树或者树链的并解决。

复杂度O((∑|A|+∑|S|)logn).

细节：你会发现建红点树的过程是动态加点的在线求lca的过程。可以用倍增(仅支持加点)或LCT(支持加点删点换根....)解决。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>

typedef long long ll;
const int N(200010);
struct Node
{
    int nd,nx;
}bot[N];
int tot,first[N],depth[N],dfn[N],cnt;
void add(int a,int b){bot[++tot]=(Node){b,first[a]};first[a]=tot;}
int F[20][N],logg;
int n,m,h[N],S;
std::vector<int>A[N];int sz,x;
template<class T>void read(T&x)
{
    x=0;bool f=0;char c=getchar();
    while((c<'0'||c>'9')&&c!='-')c=getchar();if(c=='-')f=1,c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    x=f?-x:x;
}
void swap(int &x,int &y){if(x==y)return;x^=y;y^=x;x^=y;}
int lca(int a,int b)
{
    if(depth[a]<depth[b])swap(a,b);
//    fprintf(stderr,"a:%d b:%d\b",a,b);
    for(int k=depth[a]-depth[b],j=0;k;k>>=1,j++)
        if(k&1)a=F[j][a];
//    fprintf(stderr,"a:%d b:%d\b",a,b);
    if(a==b)return a;
    for(int j=logg;F[0][a]!=F[0][b];j--)
    if(F[j][a]!=F[j][b])a=F[j][a],b=F[j][b];
    return F[0][a];
}
void relax(int x)
{
    for(int j=1;j<=logg&&F[j-1][x];j++)
        F[j][x]=F[j-1][ F[j-1][x] ];
}
namespace GetTree
{
    void init()
    {
        read(n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            read(sz);
            while(sz--) read(x),A[i].push_back(x);
            std::sort(A[i].begin(),A[i].end());
        }
    }
    void build()
    {
        logg=log2(n);
        for(int i=1,now;i<=n;i++)
        {
            now=n+1;
            if(A[i].size())
            {
                now=A[i][0];
                for(int v=1,sz=A[i].size();v<sz;v++)
                {
//                    fprintf(stderr,"now:%d\n",now);
                    now=lca(now,A[i][v]);
//                    fprintf(stderr,"A:%d\n",A[i][v]);
                }
            }
//            fprintf(stderr,"now:%d\n",now);
            F[0][i]=now;depth[i]=depth[now]+1;
            add(now,i);
            relax(i);
        }
    }
    void DFS(int x)
    {
        dfn[x]=++cnt;
        for(int v=first[x];v;v=bot[v].nx) DFS(bot[v].nd);
    }
    void run()
    {
        init();
        build();
        DFS(n+1);
    }
}

bool cmp(int a,int b){return dfn[a]<dfn[b];}
void total()
{
    std::sort(h+1,h+S+1,cmp);
    int ans=0;
    for(int i=1,t;i<=S;i++)
    {
        ans+=depth[h[i]];
//        fprintf(stderr,"ans:%d\n",ans);
        if(i>1)
        {
            t=lca(h[i-1],h[i]);
            ans-=depth[t];
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
}

int main()
{
//    freopen("C.in","r",stdin);
    GetTree::run();
    read(m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        read(S);
        for(int j=1;j<=S;j++) read(h[j]);
        total();
    }
    return 0;
}