【题解】DZY Loves Math V
题目描述
给你 \(n\) 个整数 \(a_i\) 叫你求：
\[\sum_{i_1|a_1}\sum_{i_2|a_2}\sum_{i_3|a_3}\cdots\sum_{i_n|a_n}\varphi(i_1i_2i_3\cdots i_n)
\]
简要思路
发现对于欧拉函数 \(\varphi(n)\) 为积性函数，所以不难想到对于每一个质数 \(p\) 考虑贡献。
我们假设现在考虑到的质数为 \(p\) ，令对于每一个 \(a_i\) 质数 \(p\) 所对的最大指数为 \(b_i\) 。
那么我们可以得到此时 \(p\) 的贡献为：
\[\begin{split}
S &= \sum_{i_1=0}^{b_1}\sum_{i_2=0}^{b_2}\sum_{i_3=0}^{b_3}\cdots\sum_{i_n=0}^{b_n}
\varphi(p^{i_1}p^{i_2}p^{i_3}\cdots p^{i_n})\\
&=\sum_{i_1=0}^{b_1}\sum_{i_2=0}^{b_2}\sum_{i_3=0}^{b_3}\cdots\sum_{i_n=0}^{b_n}
\varphi(p^{i_1+i_2+i_3+\cdots+i_n})
\end{split}
\]
考虑到对于 \(\varphi(p^n)\) 有这样的公式：
\[\varphi(p^n)=p^n\times\frac{p-1}{p}
\]
所以上式可以表示为：
\[\begin{split}
S&=\sum_{i_1=0}^{b_1}\sum_{i_2=0}^{b_2}\sum_{i_3=0}^{b_3}\cdots\sum_{i_n=0}^{b_n}
(p^{i_1+i_2+i_3+\cdots+i_n}\times\frac{p-1}{p})\\
&=\frac{p-1}{p}\times\sum_{i_1=0}^{b_1}\sum_{i_2=0}^{b_2}\sum_{i_3=0}^{b_3}\cdots\sum_{i_n=0}^{b_n}p^{i_1+i_2+i_3+\cdots+i_n}
\end{split}
\]
看上去没有任何问题，但是发现当 \(i_1=i_2=i_3=\cdots=i_n=0\) 时有一定的缺陷，所以改成：
\[\begin{split}
S&=\sum_{i_1=0}^{b_1}\sum_{i_2=0}^{b_2}\sum_{i_3=0}^{b_3}\cdots\sum_{i_n=0}^{b_n}
(p^{i_1+i_2+i_3+\cdots+i_n}\times\frac{p-1}{p})\\
&=\frac{p-1}{p}\times\sum_{i_1=0}^{b_1}\sum_{i_2=0}^{b_2}\sum_{i_3=0}^{b_3}\cdots\sum_{i_n=0}^{b_n}p^{i_1+i_2+i_3+\cdots+i_n}\\
&=\left[\sum_{i_1=0}^{b_1}\sum_{i_2=0}^{b_2}\sum_{i_3=0}^{b_3}\cdots\sum_{i_n=0}^{b_n}p^{i_1+i_2+i_3+\cdots+i_n}-1\right]\times\frac{p-1}{p}+1
\end{split}
\]
现在发现后面的那一部分包括那个 \(-1\) 都是死的，所要计算的也就是下面这个式子：
\[\sum_{i_1=0}^{b_1}\sum_{i_2=0}^{b_2}\sum_{i_3=0}^{b_3}\cdots\sum_{i_n=0}^{b_n}
p^{i_1+i_2+i_3+\cdots+i_n}
\]
我们尝试着把这个式子拆开来看一下：
\[\begin{split}
S'&=\sum_{i_1=0}^{b_1}\sum_{i_2=0}^{b_2}\sum_{i_3=0}^{b_3}\cdots\sum_{i_n=0}^{b_n}
p^{i_1+i_2+i_3+\cdots+i_n}\\
&=\sum_{i_1=0}^{b_1}p^{i_1}\sum_{i_2=0}^{b_2}\sum_{i_3=0}^{b_3}\cdots\sum_{i_n=0}^{b_n}
p^{i_2+i_3+\cdots+i_n}\\
&=\sum_{i_1=0}^{b_1}p^{i_1}\sum_{i_2=0}^{b_2}p^{i_2}\sum_{i_3=0}^{b_3}p^{i_3}
\cdots\sum_{i_n=0}^{b_n}p^{i_n}\\
&=\prod_{i=1}^n(1+p+p^2+\cdots +p^{b_i})
\end{split}
\]
然后对所有的质数 \(p\) 去一个乘积就可以了，代码很简单。
点击查看代码
#pragma GCC optimize(2)
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define File(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)
const int mod = 1e9 + 7;
const int M = 1e7 + 5;
const int N = 1e5 + 5;
int n, a[N], tag[M];
inline int power(int a, int n) {
int ret = 1;
while (n) {
if (n & 1) ret = 1ll * ret * a % mod;
a = 1ll * a * a % mod;
n /= 2;
}
return ret;
}
signed main(void) {
std::cin >> n;
for (int i = 1; i <= M - 5; i++) tag[i] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
int ans = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int t = a[i], num = 0, mul = 1, ss = 0;
for (int j = 2; j * j <= t; j++) {
if (t % j) continue;
num = 0; mul = 1; ss = 0;
while (t % j == 0) t /= j, num ++;
for (int k = 0; k <= num; k ++) {
ss = (0ll + ss + mul) % mod;
mul = 1ll * mul * j % mod;
}
tag[j] = 1ll * tag[j] * ss % mod;
}
if (t > 1) {
ss = 1 + t;
tag[t] = (1ll * tag[t] * ss) % mod;
}
}
for (int i = 2; i <= M - 5; i++) {
if (tag[i] == 1) continue;
int mul = 1ll * (tag[i] - 1) * (i - 1) % mod * power(i, mod - 2) % mod + 1;
mul = (1ll * mul % mod + mod) % mod;
ans = 1ll * ans * mul % mod;
}
std::cout << ans << std::endl;
return 0;
}
