AGC005D 做题体验

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本人再次认为是一道不错的题目，可能是我菜。

判定可行解

首先假定我们已经得到了 \(a\) 和 \(b\) 这两个序列，我们如何判断是否是有解的。

从图论的角度去分解这个问题，我们设当前序列为 \(c\) 。
当 \(c_i=c_j\) 时，我们连一条 \((i,j)\) 双向边，代表第 \(i\) 位和第 \(j\) 位的数字应是相同的。
很显然，这几条边把相同数字的点都连上了边，那么如果整张图中只有一个连通块时，说明都是一种数值。
那么该如何连边，在这道题中非常显然，对于回文串连边即可。
因为对于一个长度为 \(Len\) 的回文串，我们能够连 \(⌊\frac{Len}{2}⌋\) 这样的边。
所以如果 \(Len\) 为奇数，就不能恰好连完所以的边，我们设奇数段的个数为 \(p\) 。
那么很显然，一共会连出来 \(\frac{n-p}{2}\) 条边，因为要求只有一个连通块所以边数至少为 \(n-1\) ，可以得出 \(p\leq 2\) 的结论。

到现在为止，我们已经判断了是否有可行解的情况，现在考虑构造方案。

\(p = 0\)

先从 \(p=0\) 也就是说 \(a\) 中没有奇数元素的情况进行构造。
我们发现 \(a\) 可以保持不动，最主要的是要把相邻组的数字和同一组不同对的数组搞成一样。
这里直接给出结论：

\[B=\{A_1+1,A_2,A_3,\cdots,A_{m-1},A_m-1\} \]

注意，当 \(A_m-1 =0\) 的时候直接把最后一位省略即可。

\(p=1\) 和 \(p=2\)

其实我们只要构造出 \(A\) 那么 \(B\) 直接按照上述的情况构造即可。
当 \(p=1\) 时，我们可以把奇数的元素 \(A_{odd}\) 放到 \(A\) 的最后一个位置。
同样的，对于 \(p=2\) 的情况，我们把 \(A_{odd}\) 分别放到第一位和最后一位。

上述的思路仔细思索还是不难理解的。
具体细节可以看一下代码:

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

#define File(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)
#define Enter putchar('\n')
#define quad putchar(' ')

const int N = 105;

int n, m, a[N], s, b[N];

signed main(void) {
  std::cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= m; i++) std::cin >> a[i];
  for (int i = 1; i <= m; i++) s += (a[i] & 1);
  if (s > 2) {
    std::cout << "Impossible" << std::endl;
    return 0;
  }
  if (m == 1) {
    std::cout << a[1] << std::endl;
    if (a[1] == 1) {
      std::cout << 1 << std::endl << 1;
      return 0;
    }
    std::cout << 2 << std::endl;
    std::cout << 1 << " " << a[1] - 1 << std::endl;
  } else if (s == 0) {
    for (int i = 1; i <= m; i ++) std::cout << a[i], quad; Enter;
    a[1] ++; a[m] --;
    if (a[m] == 0) m --;
    std::cout << m << std::endl;
    for (int i = 1; i <= m; i++) std::cout << a[i], quad;
    Enter;
  } else if (s == 1) {
    std::stable_sort(a + 1, a + 1 + m, [](int p, int q) {return p % 2 < q % 2;});
    for (int i = 1; i <= m; i++) std::cout << a[i], quad; Enter;
    a[1] ++; a[m] --;
    if (a[m] == 0) m --;
    std::cout << m << std::endl;
    for (int i = 1; i <= m; i++) std::cout << a[i], quad;
    Enter;
  } else {
    int first = -1, last = -1;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
      if (a[i] % 2 == 0) continue;
      if (first == -1) first = a[i];
      else {last = a[i]; break;}
    } 
    int tot = 1;
    b[1] = first;
    for (int i = 1; i <= m; i++) 
      if (a[i] % 2 == 0) b[++tot] = a[i];
    b[++tot] = last;
    for (int i = 1; i <= m; i++) std::cout << b[i], quad; Enter;
    b[1] ++; b[m] --;
    if (b[m] == 0) m --;
    std::cout << m << std::endl;
    for (int i = 1; i <= m; i++) std::cout << b[i], quad;
  }
  return 0;
}