范德蒙德卷积 学习笔记
直接放结论，反正我也不会证。
\[\sum_{i=0}^k\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}=\dbinom{n+m}{k}
\]
下面有几个推论，可以稍微不那么严谨的证明一下。
首先你要知道的是这个东西：
\[\dbinom{m}{i}=\dbinom{m}{m-i}
\]
感性理解一下就是杨辉三角的对称性，其实直接拆式子也不是什么难事。
下面来看几个推论：
推论一
\[\sum_{i=1}^{n}\dbinom{n}{i}\dbinom{n}{i-1}=\dbinom{2n}{n+1}
\]
关于证明，我们可以把 \(\binom{n}{i-1}\) 转化成为 \(\binom{n}{n-i+1}\) 。
然后原式变成
\[\sum_{i=1}^{n}\dbinom{n}{i}\dbinom{n}{n-i+1}
\]
直接套用公式就可以了。
推论二
\[\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}^2=\dbinom{2n}{n}
\]
证明的话先把式子的平方拆开，变成这样
\[\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}\times\dbinom{n}{i}
\]
然后考虑这样的一个转换：
\[\dbinom{n}{i}=\dbinom{n}{n-i}
\]
带入原式可以发现，又变成了范德蒙德卷积的形式
\[\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}\dbinom{n}{n-i}
\]
推论三
\[\sum_{i=0}^m\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{i}=\dbinom{n+m}{m}
\]
证明也很简单，考虑这样的一个转换
\[\dbinom{m}{i}=\dbinom{m}{m-i}
\]
带入以后成为范德蒙德卷积的形式：
\[\sum_{i=0}^m\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{m-i}
\]
