微积分自学笔记

前言

啊对对对，发现是个人都会微积分，虽然我算不上人，但是要紧跟人类的步伐。

正文

导数

导数定义以及相应的公式

对于任意一个函数 $f(x)$ 他的导数是这样的：

$$f^{\prime }(x)=\frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$$

深奥的理解我看不懂，所以所认为导数就是一个函数瞬时的变化率。

几种求导的例子

有了上面的式子，求导看上去也不是那么困难。

代数求导

求 $f(x)=x^3$ 的导数：

$$\begin{array}{rl}{f}^{″}(x)& =\frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\\ & =\frac{(x+dx{)}^3-x^3}{dx}\\ & =\frac{x^3+3x^2(dx)+3x(dx{)}^3+d{x}^3-x^3}{dx}\\ & =\frac{3x^2(dx)+3x(dx{)}^3+d{x}^3}{dx}\\ & =3x^2+3x(dx)+d{x}^2\end{array}$$

因为有上述定义可知：$dx\to 0$ 。
所以所有的有关 $dx$ 的项可以忽略不记，及：

$$f^{\prime }(x)=\underset{dx\to 0}{lim}{f}^{″}(x)=3x^2$$

幂函数求导

求 $f(x)=x^n$ 的导数：

$$\begin{array}{rl}{f}^{″}(x)& =\frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\\ & =\frac{(x+dx{)}^n-x^n}{dx}\end{array}$$

是的，写到这里我们可以发现：$x^n$ 被我们减法约掉了。
然而除了 $n{x}^{n-1}dx$ 这一项约去 $dx$ 后没有 $dx$ 外。
其他的每一项都含有 $dx$ 也就是说，我们可以直接省略，不影响答案。
所以，可以得出这样的结论：

$$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$$

两个函数相加时的求导

$$\frac{d(g(x)+f(x))}{dx}=\frac{dg+df}{dx}=\frac{dg}{dx}+\frac{df}{dx}$$

证明显然，直接拆一下式子即可。

两个函数相乘时求导

求 $f(x)=\sin (x)\times x^2$ 的导数：
直接从面积法出发即可，对微小的差距 $dx$ 进行面积差的判断。
直接给出结论：

$$\begin{gathered} f(x)=g(x)h(x) \\ {f}^{\prime }(x)=g(x)h^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)h(x) \end{gathered}$$

因为我是入门自学，所以一些申必的东西我不看也不写。

洛必达法则

没脑子选手选择直接记公式，因为不难背。
考虑给你两个函数 $g(x)$ 和 $h(x)$ ，如果存在某一个 $x=a$ 使得：

$$g(a)=0\text{and}h(x)=0$$

那么可以的得到下面的这个结论：

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{g(x)}{h(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{g^{\prime }(x)}{h^{\prime }(x)}$$

积分

在学初中物理时，算路程时，老师经常会让我们直接计算面积，其实这就是积分。
用数学表示是这样的：

$$S={\int }_0^{T}v(t)dt$$

其中 ${\int }_x^y$ 表示 $[x,y]$ 的点值和的大小。
这个式子就是说在 $dt\to 0$ 时，加和的无限趋近的一个数。

这里还给出积分的基本定理：

$${\int }_x^{y}f(x)dx=F(x)-F(y)$$

本人很菜，所以积分部分写的很不详细，请大家不要喷。/kel