微积分自学笔记

前言

啊对对对，发现是个人都会微积分，虽然我算不上人，但是要紧跟人类的步伐。

正文

导数

导数定义以及相应的公式

对于任意一个函数 \(f(x)\) 他的导数是这样的：

\[f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx} \]

深奥的理解我看不懂，所以所认为导数就是一个函数瞬时的变化率。

几种求导的例子

有了上面的式子，求导看上去也不是那么困难。

代数求导

求 \(f(x)=x^3\) 的导数：

\[\begin{split} f''(x)&=\frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\\ &=\frac{(x+dx) ^ 3-x^3}{dx}\\ &=\frac{x^3+3x^2(dx)+3x(dx)^3+dx^3-x^3}{dx}\\ &=\frac{3x^2(dx)+3x(dx)^3+dx^3}{dx}\\ &=3x^2+3x(dx)+dx^2 \end{split} \]

因为有上述定义可知：\(dx\rightarrow 0\) 。
所以所有的有关 \(dx\) 的项可以忽略不记，及：

\[f'(x)=\lim_{dx\rightarrow 0}f''(x)=3x^2 \]

幂函数求导

求 \(f(x)=x^n\) 的导数：

\[\begin{split} f''(x)&=\frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\\ &=\frac{(x+dx)^n-x^n}{dx}\\ \end{split} \]

是的，写到这里我们可以发现：\(x^n\) 被我们减法约掉了。
然而除了 \(nx^{n-1}dx\) 这一项约去 \(dx\) 后没有 \(dx\) 外。
其他的每一项都含有 \(dx\) 也就是说，我们可以直接省略，不影响答案。
所以，可以得出这样的结论：

\[f'(x)=nx^{n-1} \]

两个函数相加时的求导

\[\frac{d(g(x)+f(x))}{dx}=\frac{dg + df}{dx}=\frac{dg}{dx}+\frac{df}{dx} \]

证明显然，直接拆一下式子即可。

两个函数相乘时求导

求 \(f(x)=\sin (x)\times x^2\) 的导数：
直接从面积法出发即可，对微小的差距 \(dx\) 进行面积差的判断。
直接给出结论：

\[f(x)=g(x)h(x)\\ f'(x)=g(x)h'(x)+g'(x)h(x) \]

因为我是入门自学，所以一些申必的东西我不看也不写。

洛必达法则

没脑子选手选择直接记公式，因为不难背。
考虑给你两个函数 \(g(x)\) 和 \(h(x)\) ，如果存在某一个 \(x=a\) 使得：

\[g(a)=0\ \and\ h(x)=0 \]

那么可以的得到下面的这个结论：

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{g'(x)}{h'(x)} \]

积分

在学初中物理时，算路程时，老师经常会让我们直接计算面积，其实这就是积分。
用数学表示是这样的：

\[S=\int_{0}^{T}v(t)dt \]

其中 \(\int_x^y\) 表示 \([x,y]\) 的点值和的大小。
这个式子就是说在 \(dt\rightarrow 0\) 时，加和的无限趋近的一个数。

这里还给出积分的基本定理：

\[\int_x^yf(x)dx=F(x)-F(y) \]

本人很菜，所以积分部分写的很不详细，请大家不要喷。/kel