换根 DP 学习笔记
前言
没脑子选手什么都不会。
正文
先来写一下换根 DP 的特点或应用方面:
- 不同的点作为树的根节点,答案不一样。
- 求解答案时要求出每一个节点的信息。
- 无法通过一次搜索完成答案的求解,因为一次搜索只能得到一个节点的答案。
下面来看一个例子:
给定一个 \(n\) 个点的无根树,问以树上哪个节点为根时,其所有节点的深度和最大。
一个显然的做法:枚举根节点然后 \(O(n)\) 暴力,复杂度 \(O(n^2)\) 。能过我 CS
所以我们考虑换根 DP 。
- 先以 \(1\) 节点为根节点算出每个点的深度 \(deep_i\) 和每个点为根的子树大小 \(siz_i\)
- 那么此时我们就知道了 \(1\) 为根节点时的答案 \(ans_1=\sum deep_i\) 。
- 接下来我们来看第二遍 \(\text{dfs}\) ,考虑如何由 \(ans_1\) 转换到 \(ans_i\) 。
- 因为还是从 \(1\) 节点开始向下遍历,所以默认 \(t\) 是 \(u\) 的孩子节点。
- 很显然,转移的时候把树分成两个块:1.本来就是 \(t\) 的子树 2. 原来不是 \(t\) 的子树。
- 先来考虑原来就是 \(t\) 子树的情况:每一个节点的值都要减一,所以
ans -= siz[t]
- 在来考虑另一种情况:每个节点显然答案加一,所以
ans += n - siz[t]
\[ans_t=ans_u+n-2\times siz_t
\]
Code
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define file(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)
#define Enter putchar('\n')
#define quad putchar(' ')
#define int long long
const int N = 1000005;
int n, deep[N], siz[N], f[N];
std::vector <int> dis[N];
inline void dfs1(int now, int father) {
deep[now] = deep[father] + 1;
siz[now] = 1;
for (int t : dis[now]) {
if (t == father) continue;
dfs1(t, now);
siz[now] += siz[t];
}
}
inline void dfs2(int now, int father) {
for (int t : dis[now]) {
if (t == father) continue;
f[t] = f[now] + n - 2 * siz[t];
dfs2(t, now);
}
}
signed main(void) {
// file("P3478");
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
std::cout.tie(0);
std::cin >> n;
for (int i = 1, x, y; i < n; i++) {
std::cin >> x >> y;
dis[x].emplace_back(y);
dis[y].emplace_back(x);
}
dfs1(1, 0);
for (int i = 1; i <= n; i++)
f[1] += deep[i];
dfs2(1, 0);
int ans = 0, out;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (f[i] > ans) {
ans = f[i];
out = i;
}
}
std::cout << out << std::endl;
return 0;
}
所以我们可以发现:
换根 DP 一般都是先选择任意一个点为根节点预处理出一些有用的信息。
然后第二遍 dfs 时再根据已知的答案推出其他节点的答案。