换根 DP 学习笔记

前言#

没脑子选手什么都不会。

正文#

先来写一下换根 DP 的特点或应用方面：

• 不同的点作为树的根节点，答案不一样。
• 求解答案时要求出每一个节点的信息。
• 无法通过一次搜索完成答案的求解，因为一次搜索只能得到一个节点的答案。

下面来看一个例子：

给定一个 $n$ 个点的无根树，问以树上哪个节点为根时，其所有节点的深度和最大。

一个显然的做法：枚举根节点然后 $O(n)$ 暴力，复杂度 $O(n^2)$ 。能过我 CS
所以我们考虑换根 DP 。

• 先以 $1$ 节点为根节点算出每个点的深度 $dee{p}_i$ 和每个点为根的子树大小 $si{z}_i$
• 那么此时我们就知道了 $1$ 为根节点时的答案 $an{s}_1=\sum dee{p}_i$ 。
• 接下来我们来看第二遍 $\text{dfs}$ ，考虑如何由 $an{s}_1$ 转换到 $an{s}_i$ 。
• 因为还是从 $1$ 节点开始向下遍历，所以默认 $t$ 是 $u$ 的孩子节点。
• 很显然，转移的时候把树分成两个块：1.本来就是 $t$ 的子树 2. 原来不是 $t$ 的子树。
• 先来考虑原来就是 $t$ 子树的情况：每一个节点的值都要减一，所以 ans -= siz[t]
• 在来考虑另一种情况：每个节点显然答案加一，所以 ans += n - siz[t]

$$an{s}_t=an{s}_u+n-2\times si{z}_t$$

Code#

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>

#define file(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)

#define Enter putchar('\n')
#define quad putchar(' ')

#define int long long 
const int N = 1000005;

int n, deep[N], siz[N], f[N];
std::vector <int> dis[N];

inline void dfs1(int now, int father) {
  deep[now] = deep[father] + 1;
  siz[now] = 1;
  for (int t : dis[now]) {
    if (t == father) continue;
    dfs1(t, now);
    siz[now] += siz[t];
  }
}

inline void dfs2(int now, int father) {
  for (int t : dis[now]) {
    if (t == father) continue;
    f[t] = f[now] + n - 2 * siz[t];
    dfs2(t, now);
  }
}

signed main(void) {
  // file("P3478");
  std::ios::sync_with_stdio(false);
  std::cin.tie(0);
  std::cout.tie(0);
  std::cin >> n;
  for (int i = 1, x, y; i < n; i++) {
    std::cin >> x >> y;
    dis[x].emplace_back(y);
    dis[y].emplace_back(x);
  }
  dfs1(1, 0);
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    f[1] += deep[i];
  dfs2(1, 0);
  int ans = 0, out;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (f[i] > ans) {
      ans = f[i];
      out = i;
    }
  }
  std::cout << out << std::endl;
  return 0;
}

所以我们可以发现：
换根 DP 一般都是先选择任意一个点为根节点预处理出一些有用的信息。
然后第二遍 dfs 时再根据已知的答案推出其他节点的答案。