[APIO2008]DNA 题解

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首先呢，看到 A C G T 对应不同的权值，第一步就是把字母转换成数字。
我们分别对 A->1 C->2 G->3 T->4 进行标号，之后方便 \(\text{dp}\) 。

然后看到题目中对于一个范式的定义：

一个DNA序列属于范式 \(-j(j>1)\) ，只要它属于范式 \(-(j-1)\) 或者是一个范式 \(-(j-1)\) 和一个范式 \(-1\) 的连接。

那我看了半天才看懂是什么意思，简洁来说就是范式为 \(j\) 的串同时也是范式为 \(j+1\) 的串。
其实讲到现在也就是表达一个前缀和的关系。
那我们显然要把前缀和拆开，这样的话更利于我们 \(\text{dp}\) 转移。
用符合题目的思路来说就是：隔断 \(j\) 到 \(j+1\) 这两个范式之间的直升关系。
最后再做一遍前缀和恢复就好了。

考虑怎么 \(\text{dp}\) 。
我们设 \(f_{i,j,k}\) 表示到了第 \(i\) 个位置，当前位是 \(k\) ，且范式为 \(j\) 的方案数。
那么可以得到

\[f_{i,j,k} = \sum_{type = 1}^4f_{i+1,j-[k > type],type} \]

这个也很好理解吧。
就是说我从后向前转移，枚举后一位的优先级 \(type\) 。
如果当前的优先级 \(k\) 大于后一位的优先级 \(type\) 那么范式一定加一。
这也就是为什么转移方程中会出现 \(j-[k > type]\) 。

转移完成后要记得做一次前缀和。
具体细节可以看代码。

既然 \(f_{i,j,k}\) 都求出来了，那么输出方案也不难了。
对于 \(r\) 比当前方案数多时，那就增加当前的等级，并更新 \(r\) 。

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>

#define file(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)

#define quad putchar(' ')
#define Enter putchar('\n')

#define int long long 
const int N = 5e4 + 5;

int m, k, r, a[N], f[N][15][5];
char c[N];

inline void print(int num) {
  if (num == 1) putchar('A');
  if (num == 2) putchar('C');
  if (num == 3) putchar('G');
  if (num == 4) putchar('T');
}

signed main(void) {
  // file("P3624");
  std::cin >> m >> k >> r;
  scanf("%s", c + 1);
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    if (c[i] == 'A') a[i] = 1;
    if (c[i] == 'C') a[i] = 2;
    if (c[i] == 'G') a[i] = 3;
    if (c[i] == 'T') a[i] = 4;
  }
  if (a[m] != 0) {
    f[m][1][a[m]] = 1;
  } else {
    for (int i = 1; i <= 4; i++)
      f[m][1][i] = 1;
  }
  for (int i = m - 1; i >= 1; i--) {
    if (a[i] != 0) {
      for (int j = 1; j <= k; j++) {
        for (int l = 1; l <= 4; l++)
          f[i][j][a[i]] += f[i + 1][j - (a[i] > l)][l]; 
      }
    } else {
      for (int num = 1; num <= 4; num ++) {
        for (int j = 1; j <= k; j++) {
          for (int l = 1; l <= 4; l++)
            f[i][j][num] += f[i + 1][j - (num > l)][l];
        }
      }
    }
  }
  for (int i = 1; i <= m; i++)
    for (int j = 1; j <= k; j++)
      for (int l = 1; l <= 4; l++)
        f[i][j][l] += f[i][j - 1][l];
  int last = 0;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    if (a[i] != 0) {
      print(a[i]);
      if (a[i] < last) k --;
      last = a[i];
    } else {
      int chose;
      for (chose = 1; chose <= 4 && r > f[i][k - (chose < last)][chose]; chose ++)
        r -= f[i][k - (chose < last)][chose];
      print(chose);
      if (chose < last) k --;
      last = chose;
    }
  }
  std::cout << std::endl;
  return 0;
}