高斯-约旦消元法 复习笔记

前言#

没有什么意外，发现学过的东西又忘了。
我真的是 AH 第一没脑子选手。

正题#

相对于传统的高斯消元，约旦消元法的精度更好、代码更简单，没有回带的过程。——某洛谷博客

算法流程#

约旦消元法大致思路如下：

1. 选择一个尚未被选过的未知数作为主元，选择一个包含这个主元的方程。
2. 将这个方程主元的系数化为1。
3. 通过加减消元，消掉其它方程中的这个未知数。
4. 重复以上步骤，直到把每一行都变成只有一项有系数。

算法验证#

先随便列一个方程组：

$$\{\begin{array}{l}3x+y+3z=6\\ -2x+7y+8z=17\\ 9x-7y+2z=20\end{array}$$

用 高斯-约旦消元 的方法接触当前方程的解。

• 先把方程组转化成为矩阵的形式。
  以上文的方程组为例，我们列出这样的一个矩阵：

$$\left[\begin{array}{cccc}3& 1& 3& 6\\ -2& 7& 8& 17\\ 9& -7& 2& 20\end{array}\right]$$

• 看第一列，从上到下扫描，发现绝对值更大的就直接交换。

$$\left[\begin{array}{cccc}3& 1& 3& 6\\ -2& 7& 8& 17\\ 9& -7& 2& 20\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}9& -7& 2& 20\\ -2& 7& 8& 17\\ 3& 1& 3& 6\end{array}\right]$$

• 然后运用消元的办法消元就可以了捏。（太懒了不想再算这种申必的系数）
• 之后的直接重复上面的两步就可以了。

最后会变成一个类似这样的东西：

$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& 0& 0& a\\ 0& a_{2,2}& 0& b\\ 0& 1& a_{3,3}& c\end{array}\right]$$

直接算就好了。

注意：当出现有一列全部为零时，说明无解。

Code#

#include <bits/stdc++.h>

#define file(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)

#define Enter putchar('\n')
#define quad putchar(' ')

#define N 1005

int n;
double a[N][N];

signed main(void) {
  // file("P3389");
  std::cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= n + 1; j++)
      scanf("%lf", &a[i][j]);
  
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    int maxn = i;
    for (int j = i + 1; j <= n; j++)
      if (fabs(a[j][i]) > fabs(a[maxn][i])) maxn = j;
    for (int j = 1; j <= n + 1; j++)
      std::swap(a[i][j], a[maxn][j]);
    if (!a[i][i]) {printf("No Solution\n"); return 0;}
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
      if (j == i) continue;
      double tmp = a[j][i] / a[i][i];
      for(int k= i + 1; k <= n + 1; k++)
        a[j][k] -= a[i][k] * tmp;
    }
  }

  for (int i = 1; i <= n; i++)
    printf("%.2lf\n", a[i][n + 1] / a[i][i]);
}