meet in the middle 复习笔记

前言

若干年前看过现在又忘了。这么简单都忘
所以今天来重新复习一下。

正题

考虑这样的问题：

给定 \(n\) 个物品的价格，你有 \(m\) 块钱，每件物品限买一次，求买东西的方案数。
\(n\leq 40\)，\(m\leq 10^{18}\)。

在看到数据范围之前，所有人的想法都是直接背包，看到数据范围后就寄了。
看样子不可用背包，那就用搜索吧。

直观的，我们考虑 \(O(2^n\times n)\) 的做法。
用 \(O(2^n)\) 的复杂度枚举每个物品是否购买，再 \(O(n)\) 复杂度判断是否合法。
但是看懂 \(n \leq 40\) 时就又寄了。

这是我们考虑 meet in the middle ，把时间复杂度变成 \(O(2^{\frac{n}{2}}+合并复杂度)\) 。

我们直接把当前的物品分成 \(1\sim \frac{n}{2}\) 和 \(\frac{n}{2}+1 \sim n\) 两个部分。
对于每一个部分我们都进行搜索，并把当前方案的花费 分两个数组 记录下来。
不难发现，到这为止，时间复杂度是 \(O(n^{\frac{n}{2}})\) 带有 \(2\) 的常数。

考虑怎么处理计算出来的各种方案的花费。
先考虑其中一个数组中的一种花费必选，然后直接二分查找即可。
（当然，之前要对这两个数组进行排序）

Code

笔者远古代码，没有人肉格式化，不喜勿喷。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

#define ll long long
#define re register
#define N 50
#define M 2000005

int max(ll a,ll b){return a>b?a:b;}
int min(ll a,ll b){return a<b?a:b;}

int n,num,visit[N];
ll m,a[N],num1[M],num2[M]; 
ll b[N],c[N],ans=0;

inline ll read(){
  ll s=0,t=1;
  char c=getchar();
  while((c<'0'||c>'9')&&c!='-')c=getchar();
  if(c=='-')c=getchar(),t=-1;
  while(c>='0'&&c<='9')s=(s<<1)+(s<<3)+(c^48),c=getchar();
  return s*t;
}

void dfs_b(int k){
  if(k>b[0]){
    ll s=0;
    for(int i=1;i<=b[0];i++)
    if(visit[i]==1)s+=b[i];
    num1[++num1[0]]=s;
    return;
  }
  visit[k]=1;
  dfs_b(k+1);
  visit[k]=0;
  dfs_b(k+1); 
}

void dfs_c(int k){
  if(k>c[0]){
    ll s=0;
    for(int i=1;i<=c[0];i++)
    if(visit[i]==1)s+=c[i];
    num2[++num2[0]]=s;
    return;
  }
  visit[k]=1;
  dfs_c(k+1);
  visit[k]=0;
  dfs_c(k+1);
}

ll find(ll need){
  ll l=1,r=num2[0];
  ll mid,maxn=0;
  while(l<=r){
    mid=(l+r)/2;
    if(num2[mid]<=need){
      maxn=max(maxn,mid);
      l=mid+1;
    }
    else r=mid-1;
  }
  return maxn;
}

int main(void){
  scanf("%d",&n);
  m=read();
  for(int i=1;i<=n;i++)
  a[i]=read();
  num=n/2;
  for(int i=1;i<=num;i++)
  b[++b[0]]=a[i];
  for(int i=num+1;i<=n;i++)
  c[++c[0]]=a[i];
  memset(visit,0,sizeof(visit));
  dfs_b(1);
  memset(visit,0,sizeof(visit));
  dfs_c(1);
  sort(num2+1,num2+1+num2[0]);
  for(int i=1;i<=num1[0];i++){
    ll now=m-num1[i];
    if(now<0ll)continue;
    ans+=find(now);
  }
  printf("%lld\n",ans);
}