斯特林数学习笔记（一）
第二类斯特林数
定义第二类斯特林数 \( \begin{Bmatrix} n\\ m\\ \end{Bmatrix}\) 表示 \(n\) 个元素划分成 \(m\) 个集合，每个集合非空的方案数。
我们直接考虑第二类斯特林数的递推式子。
考虑当前的这个元素是不是独立成为一个集合。
- 如果是独立的可以从 \(\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}\) 处转移。
- 否则考虑所有的 \(m\) 个集合都有被选择的可能。
注意：\(n\) 的范围限制还是很显然的捏。
\[\begin{Bmatrix}
n\\
m
\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix} +m\times\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix} \ \ (n \geq 1)
\]
既然有了递推式，再来写一下特殊情况和边界。
- \(n < m\) 时，很显然一定有集合为空，所以 \(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=0\) 。
- \(\begin{Bmatrix}n\\1\end{Bmatrix}=1\quad(n \geq 1)\)
第一类斯特林数
定义第一类斯特林数 \(\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}\) 表示 \(n\) 个数形成 \(m\) 个轮换的方案数。
通过观察可以发现以下的性质：
- \(\begin{bmatrix}n\\1\end{bmatrix}=(n-1)!\) 每一种排列都算了 \(n\) 次。
- \(\begin{bmatrix}n\\n-1\end{bmatrix}=\frac{n(n-1)}{2}\) 考虑两两元素成为轮换。
给出第一类斯特林数的递推公式：
\[\begin{bmatrix}
n\\
m
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix} +(n-1)\times\begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix} \ \ (n \geq 1)
\]
排列和轮换的个数关系：
\[\sum_{k=0}^n\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}=n!
\]
