行列式学习笔记（二）

上期回顾

上次介绍了行列式的基本性质，我们继续探索由性质得出的有用结论（以二阶行列式为基准）。

结论一

如果行列式两行相同，则行列式的值是 \(0\) 。
证明：

\[\because \begin{vmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} c&d\\ a&b\\ \end{vmatrix}\\ \therefore \begin{vmatrix} a&b\\ a&b\\ \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} a&b\\ a&b\\ \end{vmatrix}=0 \]

结论二

如果有一行是 \(0\) 则行列式值是 \(0\)
证明：
我们假设第一行是 \(0\) 。

\[\because \begin{vmatrix} ka&kb\\ c&d\\ \end{vmatrix} =k\begin{vmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{vmatrix}\\ \begin{split} \therefore \begin{vmatrix} 0&0\\ c&d\\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 0\times a& 0 \times b\\ c&d\\ \end{vmatrix}\\ &= 0\times\begin{vmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{vmatrix}\\ &=0 \end{split} \]

结论三

如果一行是另一行的 \(k\) 倍，则答案为 \(0\) 。
证明：
我们假设第一行是第二行的 \(k\) 倍。

\[\begin{split} \det(A) &= \begin {vmatrix} ka &kb\\ a &b\\ \end {vmatrix}\\ &=k \begin{vmatrix} a & b\\ a & b\\ \end {vmatrix} \end{split} \]

由结论一可知：

\[\begin{vmatrix} a & b\\ a & b\\ \end{vmatrix} = 0\\ \therefore \det(A) = k \begin{vmatrix} a & b\\ a & b\\ \end {vmatrix}=0 \]

结论四

如果某一行是其他行的线性组合，行列式的值是 \(0\) 。
证明：

\[\begin{split} \det (A) &= \begin {vmatrix} a & b &c\\ d&e&f\\ k_1a+k_2d&k_1b+k_2e&k1_c+k_2f\\ \end {vmatrix}\\ &= \begin {vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ k_1a&k_1b&k_1c\\ \end {vmatrix}+ \begin {vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ k_2d&k_2e&k_2f\\ \end {vmatrix}\\ &= 0 + 0 = 0 \end{split}\\ \]

计算行列式

先来介绍一个很好的性质。

一个行列式的一行加（减）另一行的 \(k\) 倍，行列式的值不变。

用数学公式表达：

\[\begin {vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\\ \end {vmatrix} = \begin {vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g-ka&h-kb&i-kc\\ \end {vmatrix} \]

证明一下：

\[\begin {split} \det (A) &= \begin {vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g-ka&h-kb&i-kc\\ \end {vmatrix}\\ &= \begin {vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\\ \end {vmatrix} - \begin {vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ ka&kb&kc\\ \end {vmatrix}\\ &= \begin {vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\\ \end {vmatrix} \\ \end {split} \]

直接对行列式进行 \(Gauss-Jordan\) 消元。
之后矩阵变成这样的一个存在，也就是对角矩阵。

\[\det(A) = \begin {vmatrix} a_1 & 0 & \cdots &0\\ 0 & a_2 & \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0&0&\cdots & a_n\\ \end {vmatrix} \]

考虑对角矩阵的行列式求法。

\[\begin {split} \det(A) &= \begin {vmatrix} a_1 & 0 & \cdots &0\\ 0 & a_2 & \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0&0&\cdots & a_n\\ \end {vmatrix} \\ &= a_1 \times \begin {vmatrix} 1 & 0 & \cdots &0\\ 0 & a_2 & \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0&0&\cdots & a_n\\ \end {vmatrix} \\ &=a_1 a_2\times \begin {vmatrix} 1 & 0 & \cdots &0\\ 0 & 1 & \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0&0&\cdots & a_n\\ \end {vmatrix} \\ &= a_1 a_2 a_3 \cdots a_{n-1}a_n\times \begin {vmatrix} 1 & 0 & \cdots &0\\ 0 & 1 & \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0&0&\cdots & 1\\ \end {vmatrix} \\ &= a_1a_2a_3\cdots a_{n-1}a_n\\ &= \prod_{i=1}^n a_i \end {split} \]

进一步的，我们推广到上三角矩阵以及下三角矩阵
发现这样的情况：

我们定义对角线的值为 \(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1},a_n\) 。
那么，行列式的值都是

\[\prod_{i=1}^n a_i \]

所以不需要 \(Gauss-Jordan\) 直接 \(Gauss\) 就可以啦！

Code

#include <bits/stdc++.h>

#define file(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)

#define quad putchar(' ')
#define Enter putchar('\n')

#define int long long 
#define N 605

int n, mod, a[N][N], flag = 1;

signed main(void) {
//  file("P7112");
  std::cin >> n >> mod;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= n; j++)
      scanf("%lld", &a[i][j]);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
      while (a[i][i]) {
        int x = a[j][i] / a[i][i];
        for (int k = i; k <= n; k++)
          a[j][k] = (a[j][k] - x * a[i][k] % mod + mod) % mod;
        std::swap(a[j], a[i]);
        flag *= (-1);
      }a
      std::swap(a[i], a[j]);
      flag *= -1;
    }
  }
  int ans = 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    ans = (ans * a[i][i]) % mod;
   std::cout << (ans * flag + mod) % mod<< std::endl; 
}