行列式学习笔记（二）

上期回顾

上次介绍了行列式的基本性质，我们继续探索由性质得出的有用结论（以二阶行列式为基准）。

结论一#

如果行列式两行相同，则行列式的值是 $0$ 。
证明：

$$\begin{gathered} \because \left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right| \\ \therefore \left|\begin{array}{cc}a& b\\ a& b\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cc}a& b\\ a& b\end{array}\right|=0 \end{gathered}$$

结论二#

如果有一行是 $0$ 则行列式值是 $0$
证明：
我们假设第一行是 $0$ 。

$$\begin{gathered} \because \left|\begin{array}{cc}ka& kb\\ c& d\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right| \\ \begin{array}{rl}\therefore \left|\begin{array}{cc}0& 0\\ c& d\end{array}\right|& =\left|\begin{array}{cc}0\times a& 0\times b\\ c& d\end{array}\right|\\ & =0\times \left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|\\ & =0\end{array} \end{gathered}$$

结论三#

如果一行是另一行的 $k$ 倍，则答案为 $0$ 。
证明：
我们假设第一行是第二行的 $k$ 倍。

$$\begin{array}{rl}det(A)& =\left|\begin{array}{cc}ka& kb\\ a& b\end{array}\right|\\ & =k\left|\begin{array}{cc}a& b\\ a& b\end{array}\right|\end{array}$$

由结论一可知：

$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cc}a& b\\ a& b\end{array}\right|=0 \\ \therefore det(A)=k\left|\begin{array}{cc}a& b\\ a& b\end{array}\right|=0 \end{gathered}$$

结论四#

如果某一行是其他行的线性组合，行列式的值是 $0$ 。
证明：

$$\begin{array}{rl}det(A)& =\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ k_{1}a+k_{2}d& k_{1}b+k_{2}e& k{1}_c+k_{2}f\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ k_{1}a& k_{1}b& k_{1}c\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ k_{2}d& k_{2}e& k_{2}f\end{array}\right|\\ & =0+0=0\end{array}$$

计算行列式#

先来介绍一个很好的性质。

一个行列式的一行加（减）另一行的 $k$ 倍，行列式的值不变。

用数学公式表达：

$$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g-ka& h-kb& i-kc\end{array}\right|$$

证明一下：

$$\begin{array}{rl}det(A)& =\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g-ka& h-kb& i-kc\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ ka& kb& kc\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|\end{array}$$

直接对行列式进行 $Gauss-Jordan$ 消元。
之后矩阵变成这样的一个存在，也就是对角矩阵。

$$det(A)=\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& a_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right|$$

考虑对角矩阵的行列式求法。

$$\begin{array}{rl}det(A)& =\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& a_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right|\\ & =a_1\times \left|\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& a_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right|\\ & =a_1{a}_2\times \left|\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right|\\ & =a_1{a}_2{a}_3\cdots a_{n-1}{a}_n\times \left|\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right|\\ & =a_1{a}_2{a}_3\cdots a_{n-1}{a}_n\\ & =\prod _{i=1}^n{a}_i\end{array}$$

进一步的，我们推广到上三角矩阵以及下三角矩阵
发现这样的情况：

我们定义对角线的值为 $a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n$ 。
那么，行列式的值都是

$$\prod _{i=1}^n{a}_i$$

所以不需要 $Gauss-Jordan$ 直接 $Gauss$ 就可以啦！

Code#

#include <bits/stdc++.h>

#define file(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)

#define quad putchar(' ')
#define Enter putchar('\n')

#define int long long 
#define N 605

int n, mod, a[N][N], flag = 1;

signed main(void) {
//  file("P7112");
  std::cin >> n >> mod;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= n; j++)
      scanf("%lld", &a[i][j]);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
      while (a[i][i]) {
        int x = a[j][i] / a[i][i];
        for (int k = i; k <= n; k++)
          a[j][k] = (a[j][k] - x * a[i][k] % mod + mod) % mod;
        std::swap(a[j], a[i]);
        flag *= (-1);
      }a
      std::swap(a[i], a[j]);
      flag *= -1;
    }
  }
  int ans = 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    ans = (ans * a[i][i]) % mod;
   std::cout << (ans * flag + mod) % mod<< std::endl; 
}