【SLAM】5.SLAM十四讲——李群与李代数

前言

 

一.需求来源

1.1 遇到的问题

位姿估计时存在误差，要使误差最小一般用梯度下降法，

error=f(x),x=[R,t]

其中：

（1）位移t=(x,y,z)在线性空间中，可以加法，可以求导

（2）姿态R属于SO(3),不支持加法，不能直接求导

（3）进而，位姿T属于SE(3)，不支持加法，不能直接求导

1.2 解决办法

（1）SO(3)和SE(3)都是群，是李群。

（2）李群和李代数存在一一对应

（3）李代数支持加法，可以求导

（4）对李代数进行求导，再对应回李群

 

二.数学基础

2.1 群

在组成上，是一种集合+运算

在运算上，具有：

（1）封闭性，a1属于A，a2属于A，则a1*a2属于A

（2）结合性

（3）幺元，存在a0属于A，对于任意的a属于A，都有a0*a属于A，类似单位1的样子

（4）逆，对于任意的a属于A，存在b属于A，使得a*b=幺元，称a和b互逆

2.2 李群

李群是光滑连续的群

有证明证明SO(3)和SE(3)是李群

直观理解：刚体在空间中的运动是连续的

2.3 李代数

组成上，集合V+数域F+二元运算符[,]李括号，称为李代数

运算上，具有：

（1）封闭性，对于任意的x、y数域V，则[x,y]属于V

（2）双线性，对于任意的x、y、z属于V，a、b属于F，[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z]

（3）自反性，对于任意x属于V，[x,x]=0

（4）雅克比共价，略

例如，g=(R3,R,X)满足李代数的性质，R3为三维实向量，R为实数，X为叉乘运算

2.4 李群和李代数的转换关系

李群SO(3)的李代数称so(3)，李群SE(3)的李代数称se(3)

推导过程略，只需要记住：从李代数f到李群R是指数映射，从李群R到李代数f是对数映射，so(3)是SO(3)在幺元处的切平面

对于从李群R=func(李代数f)这种指数运算，借用罗德里格斯公式可知李代数f就是李群R对应的旋转向量，即角轴

2.5建立李群乘法和李代数加法之间的关系

在李群R上作乘法约等于李代数f作加法，具体推导见教程，涉及到级数展开的小量和李代数f的雅克比逆

2.6 如何使用李群和李代数求导

SO(3)有两种求导方式：

（1）对李代数f进行求导，中间涉及几个数学概念，求出的结果即为李群目标值newR

（2）小扰动求导，是对增量deltaR进行求导，求出最佳的李群增量deltaR，则目标值newR=deltaR*R

 

三.工具

3.1 CMake的一些技巧

博客园：[一块灰色的石头]Sophus库CMakeList.txt内容详解笔记

3.2 Sophus库

对Eigen的封装，对SO(3)、SE(3)的运算提供了便捷的支持