【剑指offer】40.斐波那契数列

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1.问题描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个正整数 n ，请你输出斐波那契数列的第 n 项。

斐波那契数列是一个满足 f(x)=

{1,当x=1,2；

f(x−1)+f(x−2),当x>2}的数列；

数据范围：1≤n≤40

要求：空间复杂度 O(1)，时间复杂度 O(n) ，本题也有时间复杂度 O(logn) 的解法

 

2.问题分析

 1递归，直接套公式，缺点是时间复杂度比较高；

2记忆搜索法，将前面计算过的内容保存下来下次直接使用；

3动态规划，状态转移方程已经直接给出

4快速幂法，f(x)=f(x-1)+f(x-2),可以看做是一个矩阵[f(x),f(x-1)]=[1,1;1,0]*[f(x-1),f(x-2)]=[1,1;1,0]^n*[f(1),f(0)],用快速幂算出[1,1;1,0]^n即可，快速幂的时间复杂度是O(logn)

3.代码实例

1递归

class Solution {
  public:
    map<int, int> dataSet;
    int Fibonacci(int n) {
        if (n <= 2) {
            return 1;
        }

        return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
    }
};

 

2记忆搜索法

class Solution {
  public:
    map<int, int> dataSet;
    int Fibonacci(int n) {
        if (n <= 2) {
            return 1;
        }

        //直接查表返回
        if (dataSet.find(n) != dataSet.end()) {
            return dataSet[n];
        }

        dataSet[n] = Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
        return dataSet[n];
    }
};

3动态规划法

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        int a = 1 , b = 1 , c = 1;
        for (int i = 3 ; i <= n ; i ++) {
            c = a+b , a = b , b = c;
        }
        return c;
    }
};