【算法基础】2.五大算法之分治法

参考资料

分治算法及常见例子https://blog.csdn.net/m0_37741420/article/details/107201275

一文搞懂分治算法https://baijiahao.baidu.com/s?id=1685106188743154112&wfr=spider&for=pc

 

直观理解

 大化小，在小范围内作短小精悍的逻辑处理

 

例子先行

 二分法查找

基于迭代的二分法

//基于迭代的二分法
static int binarySearch1(int arr[],int len,int target){
    //初始化左右边界
    int left=0,right=len-1;
    int mid;

    //迭代,中止条件为左右边界之间不再包含待查元素
    while(left<=right){
        //计算中间位置,向下取整
        mid=(left+right)/2;

        //target小于arr[mid]，即要寻找的元素在左半边，所以需要设定右边界为mid-1，搜索左半边
        if(target<arr[mid]){
            right=mid-1;
            continue;
        }

        //target大于arr[mid]，即要寻找的元素在右半边，所以需要设定左边界为mid+1，搜索右半边
        if(target>arr[mid]){
            left=mid+1;
            continue;
        }

        if(target==arr[mid]){
            return mid;
        }        
    }

    //找不到
    return -1;
}

基于递归的二分法，套用递归三板斧

//基于递归的二分法
//元素全部非负
static int binarySearch1(int arr[],int left,int right,int target){
    //中止条件1
    if(left>right){
        return -1;
    }    
    //中止条件2
    int mid=(left+right)/2;
    if(arr[mid]==target){
        return arr[mid];
    }

    //本层逻辑，刷新边界
    int ret=-1;
    if(target<arr[mid]){
        right=mid-1;        
    }
    else{
        left=mid+1;
    }
    
    //调用递归
    ret=binarySearch1(arr,left,right,target);
    
    return ret;
}

 

总结提炼

 1理论基础

把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，子问题的解的合并即是原问题的解。

2适用场景

（1）问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

（2）问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质（什么是最优子结构？）（当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质）

（3）拆分出来的子问题的解，可以合并为该问题的解

（4）拆分出来的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题（什么是子问题？先理解为在局部上处理时逻辑更纯粹、无外界干扰的环境吧）

3使用步骤

（1）分解，将原问题分解为若干个规模较小、相互独立、与原问题形式相同的子问题

（2）解决，若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题

（3）合并，将各个子问题的解合并为原问题的解（对于迭代而言是直接返回，对于递归而言是逐层返回并被接受）

4基于递归的伪代码

返回值 divideAndConquer(初始递归变量){
    //中止条件
    if(不持续递归条件){
        返回
    }

    //本层逻辑
    本次拆分后的业务逻辑

    //根据策略，分治地调用递归，节省工作量
    if(某种分治策略){
        divideAndConquer(一侧递归初始变量);
    }
    else{
        divideAndConquer(另一侧递归初始变量);
    }
}

5基于迭代的伪代码

while(满足拆分的条件){
    //更新状态参数
    本次拆分后的业务逻辑

    //将状态参数带入分治策略，节省工作量
    if(某种分治策略){
        按分治策略的A面，改变并保存拆分条件所涉及的变量
    }
    else{
        按分治策略的B面，改变并保存拆分条件所涉及的变量
    }
 }

 

拓展方向

 1>二分搜索
2>大整数乘法
3>Strassen矩阵乘法
4>棋盘覆盖
5>合并排序
6>快速排序
7>线性时间选择
8>最接近点对问题
9>循环赛日程表
10>汉诺塔