【剑指offer】79.剪绳子

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1.问题描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长的 m 段（ m 、 n 都是整数， n > 1 并且 m > 1 ， m <= n ），每段绳子的长度记为 k[1],...,k[m] 。请问 k[1]*k[2]*...*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是 8 时，我们把它剪成长度分别为 2、3、3 的三段，此时得到的最大乘积是 18 。

数据范围： 2≤n≤60
进阶：空间复杂度 O(1)，时间复杂度 O(n)

 

2.问题分析

数学分析、贪心算法

可以证明如果把整数n分为两部分，那么这两部分的值相差越小乘积越大，因此尽量将绳子等分将获得最大乘积，问题是几等分。

如果我们把长度为n的绳子分为x段，则每段只有在长度相等的时候乘积最大，那么每段的长度是n/x。所以他们的乘积是(n/x)^x。求该函数的极值：

 

 

 通过对函数求导我们发现，当x=n/e的时候，也就是每段绳子的长度是n/x=n/(n/e)=e的时候乘积最大。在e=2.71....的两侧，3相对于2更靠近e，因此长度为3一段更理想。

后续使用贪心思想，不断将绳子分成每段长度为3即可，不足3的可以考虑，如果最后剩余的是2，直接乘上，如果最后剩余的是1，则取出一个3组成4分成长度为2的两段，因为1*3<2*2

 

动态规划

定义一个数组dp，其中dp[i]表示的是长度为i的绳子能得到的最大乘积。我们先把长度为i的绳子拆成两部分，一部分是j，另一部分是i-j，那么会有下面4种情况

（1）j和i-j都不能再拆了，dp[i]=j*(i-j);

（2）j能拆，i-j不能拆，dp[i]=dp[j]*(i-j);

（3）j不能拆，i-j能拆，dp[i]=j*dp[i-j];

（4）j和i-j都能拆，dp[i]=dp[j]*dp[i-j];

递推公式如下

dp[i] = max(dp[i], (max(j, dp[j])) * (max(i - j, dp[i - j])));其中j的取值为[1,i]

问题是初始值如何判定：

i=1时，不能拆，dp[1]=1

i>=2时，套用公式即可获得。

3.代码实例

数学分析、贪心算法

class Solution {
  public:
    int cutRope(int number) {
        if (number == 2 || number == 3)
            return number - 1;
        int res = 1;
        while (number > 4) {
            //如果target大于4，我们不停的让他减去3
            number = number - 3;
            //计算每段的乘积
            res = res * 3;
        }
        return number * res;
    }
};

 

 

动态规划

class Solution {
  public:
    int cutRope(int number) {
        vector<int> dp(number + 1, 0);
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= number; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                //这里面包含了拆或者不拆、拆多长的抉择
                dp[i] = max(dp[i], (max(j, dp[j])) * (max(i - j, dp[i - j])));
            }
        }

        return dp[number];
    }
};