09-计算机的运算方法
09-计算机的运算方法
一、无符号数和有符号数
1、无符号数
寄存器的位数反映无符号数的表示范围
如果寄存器是8位，表示的是0-255之间的数
如果寄存器是16位，表示的是0-65535之间的数
2、有符号数
1.机器数与真值
真值是我们平时用的数据，带正负号
保存在计算机里面的数叫做机器数，是符号数字化的的数
| 真值 | 机器数 |
|---|---|
| 带符号的数 | 符号数字化的数 |
| +0.1011 | 符号0 小数点的位置约定在符号位之后 数据1011 |
| -0.1011 | 符号1 小数点的位置约定在符号位之后 数据1011 |
| +1100 | 符号0 数据1100 小数点的位置约定在最后 |
| -1100 | 符号1 数据1100 小数点的位置约定在最后 |
有两种机器
1.小数定点机：小数点的位置约定在符号位之后
2.整数定点机：小数点的位置约定在最后
2.原码表示法
1）定义
整数
$$
[x]_原 = \begin{cases}0,x \quad \text {if {$2^n$>x>=0}} \2^n-x\quad \text {if {0>=x>-$2^n$};}
\end{cases}
$$
x为真值 整数的位数
例子：
x=+1110 $[x]_原=0,1110$
x=-1110 $[x]_原=2^4+1110=1,1110$
原码实际上是带符号的绝对值表示
小数
$$
[x]_原 = \begin{cases}x \quad \text {if {1>x>=0}} \1-x\quad \text {if {0>=x>-1};}
\end{cases}
$$
x为真值
x=+0.1101 $[x]_原=0.1110$
x=-0.1101 $[x]_原=1.1110$
原码小数点前的数字表示符号
原码的特点：简单、直观
使用原码的方式 同样是加法的操作，如果是一正一负相加实际就变成减法操作了
如果只做加法的运算，会提高计算机的效率
3.补码表示法 （重要）
补码就解决了加减法的归一化问题
一个负数加上 模 就得到该负数的补数
一个正数和一个负数互为补数时，它们绝对值之和即为模数
正数的补数即为其本身
整数
$$
[x]_补 = \begin{cases}0,x \quad \text {if {$2^n$>x>=0}} \2^n+x\quad \text {if {0>x>=-$2^n$(mod $2^{n+1}$)};}
\end{cases}
$$
x为真值, n是数据位的长度
x=+1010 $[x]_补=0,1010$
x=-1011000 $[x]_补=1,0101000$
小数
$$
[x]_补 = \begin{cases}x \quad \text {if {1>x>=0}} \2+x\quad \text {if {0>x>=-1 (mod 2)};}
\end{cases}
$$
x为真值
x=+0.1110 $[x]_补=0.1110$
x=-0.1100000 $[x]_补=1.0100000$
注意，小数是有长度的，需要按照存取长度进行截取或补零
求补码的快捷方式
当真值为负时，补码可用原码除了符号位每位取反，末位加1求得
4.反码表示法
当真值为负时，反码可用原码除了符号位每位取反得到
整数
$$
[x]_反 = \begin{cases}0,x \quad \text {if {$2^n$>x>=0}} \2^{n+1}-1+x\quad \text {if {0>=x>=-$2^n$(mod $2^{n+1}$-1)};}
\end{cases}
$$
x为真值, n是数据位的长度
x=+1010 $[x]_反=0,1010$
x=-1101 $[x]_反=1,0010$
小数
$$
[x]_反 = \begin{cases}x \quad \text {if {1>x>=0}} \2-2^{-n}+x\quad \text {if {0>x>=-1 (mod 2-$2^{-n}$)};}
\end{cases}
$$
x为真值
x=+0.1101 $[x]_反=0.1110$
x=-0.1101 $[x]_反=1.0010$
注意，小数是有长度的，需要按照存取长度进行截取或补零
三种机器数的小结
- 最高位为符号位，书写上用，或者. 将数值部分和符号位隔开
- 对于正数，原码=补码=反码
- 对于负数，符号位为1，其数值部分 原码除符号位外每位取反末尾加1是补码 原码除符号位外每位取反是反码
5.移码表示法
补码表示很难直接判断其真值大小
$[x]_移 = 2^n+x (2n>x>=-2n)$
x是真值，n为整数的位数
x=10100 $[x]_移=1,10100$
x=-10100 $[x]_移=0,01100$
移码值给出了整数的定义，没有给出小数的定义
移码和补码的比较
移码和补码只相差一个符号位
$[+0]_移$ = $[-0]_移$
最小真值的移码为全0
用移码表示浮点数的阶码
能方便地判断浮点数的阶码的大小
二、数的定点表示和浮点表示
1.定点表示
小数点按约定方式标出
两种方式：
小数点在数符位置之后，在数值位置之前 小数定点机
小数点在数值位置之后 整数定点机
| 定点机 | 小数定点机 | 整数定点机 |
|---|---|---|
| 原码 | $-(1-2{-n})$~$+(1-2)$ | $-(2n-1)$~$+(2n-1)$ |
| 补码 | $-1$~$+(1-2^{-n})$ | $-2n$~$+(2n-1)$ |
| 反码 | $-(1-2{-n})$~$+(1-2)$ | $-(2n-1)$~$+(2n-1)$ |
2.浮点表示
为什么在计算机中要引入浮点数表示？
使用定点机编程，需要程序员自己调节小数点的位置，导致编程很困难
数的表示范围小，为了能表示两个大小相差很大的数据，需要很长的机器字长
数据存储单元的利用率往往很低，可能很多位存储的都是0
浮点表示的格式是什么？
$N=Sr^j$ 浮点数的一般形式
S 尾数 j阶码 r尾数的基值
计算机中r取2、4、8、16等
当r=2 $N=11.0101=0.1101012{10}=1.10101*21=1101.01*2{-10}=0.00110101*2$
在计算机中S要求必须是小数，可正可负
j整数、可正可负
其中S小数点后第一位为1的数叫做规格化数
尾数和阶码的基值必须是2吗？基值的影响？
不用，可以是2的幂次
为什么要引入规格化表示？
可以使数据存储单元的利用率最高,尽可能保证数据的精度
目前浮点数表示格式的标准是什么？
1.浮点数的表示形式
$j_f j_1j_2...j_m S_f S_1S_2...S_n$
j是阶码 $j_f$是阶符 $j_1$~$j_m$是阶码的数值部分
S是尾数 $S_f$代表数的符号 $S_1$~$S_n$是阶码的数值部分
n其位数反映浮点数的精度
m其位数反映浮点数的表示范围
$j_f$和m共同表示小数点的实际位置
2.浮点数的表示范围
最小负数 $-2{(2m-1)}(1-2^{-n})$
最大负数 $-2{-(2m-1)}(2^{-n})$
最小正数 $2{-(2m-1)}(2^{-n})$
最大正数 $2{(2m-1)}(1-2^{-n})$
3.浮点数的规格化形式
r=2 尾数最高位为1
r=4 尾数最高2位不全为0
4=8 尾数最高3位不全为0
4.浮点数的规格化
r=2 左规 尾数左移1位，阶码减1
右规 尾数右移1位，阶码加1
r=4 左规 尾数左移2位，阶码减1
右规 尾数右移2位，阶码加1
r=8 左规 尾数左移3位，阶码减1
右规 尾数右移3位，阶码加1
基数r越大，可表示的浮点数的额范围越大
基数r越大，浮点数的精度降低
机器零
当浮点数尾数为0时，不论其阶码为何值 按机器零处理
当浮点数阶码等于或小于它所表示的最小数时，不论尾数为何值，按机器零处理
3.举例
4.IEEE 754标准
数符，阶码（含阶符），尾数
尾数为规格化表示
非0的有效位最高位为1（隐含）
| 符号位S | 阶码 | 尾数 | 总位数 | |
|---|---|---|---|---|
| 短实数 | 1 | 8 | 23 | 32 |
| 长实数 | 1 | 11 | 52 | 64 |
| 临时实数 | 1 | 15 | 64 | 80 |
三、定点运算
1.移位运算
1）移位运算数学意义
在数学中，我们说小数点向左还是向右移动
但在计算机中，小数点的位置是约定好的，一般说是数字相对小数点的左右移动
左移 绝对值扩大2倍
右移 绝对值缩小为原来的1/2
在计算机中，移位与加减配合，能够实现乘除功能
2）算数移位规则
1）符号位不变
| 码制 | 添补代码 | |
|---|---|---|
| 正数 | 原码、补码、反码 | 0 |
| 负数 | 原码 | 0 |
| 负数 | 补码 | 左移添0 |
| 负数 | 补码 | 右移添1 |
| 负数 | 反码 | 1 |
3）算数移位的硬件实现
4）算数移位与逻辑移位的区别
算数移位 有符号数的移位
逻辑移位 无符号数的移位
逻辑左移 低位添零，高位移丢
逻辑右移 高位添零，低位移丢
2.加减法运算
补码加减法运算的公式
1）加法
整数 $[A]_补+[B]_补=[A+B]_补 (mod 2^{n+1})$
小数 $[A]_补+[B]_补=[A+B]_补 (mod 2)$
2）减法
整数 $[A-B]_补=[A+(-B)]_补=[A]_补+[-B]_补 (mod 2^{n+1})$
小数 $[A-B]_补=[A+(-B)]_补=[A]_补+[-B]_补 (mod 2)$
溢出判断
1）一位符号位判溢出
参加操作的两个数（减法时即为被减数和"求补"以后的减数）符号相同，其结果的符号与原操作数的符号不同，即为溢出
硬件实现
最高有效位的进位 异或 符号位的进位 = 1 表示溢出
2）两位符号位判溢出 （溢出）
$$
[x]{补'} = \begin{cases}x \quad \text {if {1>x>=0}} \4+x\quad \text {if {0>x>=-1 (mod 4)};}
\end{cases}
$$
$[A]+[B]{补'}=[A+B] (mod 4)$
$[A-B]{补'}=[A+(-B)]=[A]{补'}+[-B] (mod 4)$
结果的双符号位相同 未溢出
结果的双符号位不同 溢出
最高符号位 代表其真正的符号
补码加减法的硬件配置
3.乘法运算
计算机中怎么做二进制的乘法运算呢
笔算乘法的分析
笔算乘法的改进
乘法运算可用加和移位实现 n=4 加4次，移4次
由乘数的末尾决定被乘数是否与原部分积相加 然后右移1位形成新的部分积，同时乘数右移一位（末位丢失），空出高位存放部分积的低位
被乘数只与部分积的高位相加
ACC寄存器保存部分积的高位
MQ寄存器保存部分积的低位和乘数
需要三个寄存器 其中两个具有移位功能
一个全加器
原码的乘法运算
$[x]_原=x_0.x_1x_2...x_n$
$[y]_原=y_0.y_1y_2...y_n$
$[xy]_原=(x_0异或y_0).(0.x_1x_2...x_n)(0.y_1y_2...y_n)=(x_0异或y_0).x*y$
式中x^=0.x_1x_2...x_n
y^=0.y_1y_2...y_n
乘积的符号位单独处理 x_0异或y_0
数值部分为绝对值相乘 x*y*
原码一位乘递归公式
补码的乘法运算
这个没讲
4.除法运算
笔算除法是怎么做的
如何用计算机硬件来模拟笔算除法的过程
| 笔算除法 | 机器除法 |
|---|---|
| 商符单独处理 | 符号位异或形成 |
| 心算上商 | $x_{绝对值}-y_{绝对值}>0$上商1 $x_{绝对值}-y_{绝对值}<0$上商0 |
| 余数 不动 低位补'0' 减右移一位 的除数 | 余数左移一位 低位补0 减除数 |
| 2倍字长加法器 | 1倍字长加法器 |
| 上商位置不固定 | 在寄存器最末位上商 |
原码除法
小数
$[x]_原=x_0.x_1x_2...x_n$
$[y]_原=y_0.y_1y_2...y_n$
$[x/y]_原=(x_0异或y_0).(0.x_1x_2...x_n)/(0.y_1y_2...y_n)=(x_0异或y_0).x*/y*$
乘积的符号位单独处理 x_0异或y_0
数值部分为绝对值相乘 $x*y*$
约定 小数定点除法 $x*<y$ 整数定点除法 $x*>y$
被除数不等于0
除数不能为0
- 恢复余数法
余数为正 上商1 计算$2R_i-y^$
余数为负 上商0，计算$R_i+y^$ 恢复余数 - 加减交替法（不恢复余数法）
第一次需要计算余数，后续就看上商的值来判断后续的操作
上商1 计算$2R_i-y^$
上商0 计算$2R_i+y^$
四、浮点四则运算
仅讲解了浮点数的加减法的运算
$x=S_x2^{j_x}$
$y=S_y2^{j_y}$
对阶
在浮点数加减法操作中，首先要对阶，就是保证两个数的阶数相同
对阶原则
小阶向大阶看齐 原因：阶数增加，尾数向右移动，有数据丢失，也是低位只影响精度；阶数减小，尾数向左移动，有数据丢失，是高位引发错误
尾数求和
规格化
规格化的原则
原码 不论正数、负数，第一位数为1
补码 符号位和第一数为不同
左规：尾数左移一位，阶码减1，直到数符和第一数位不同为止
右规：当尾数溢出（>1）时，需右规 即尾数出现01.xxxx 或10.xxxx 尾数右移一位，阶码加1
舍入
在对阶和右规过程中，可能出现尾数末位丢失，引起误差，需考虑舍入
- 0舍1入法
- 恒置1法
溢出判断
设机器数为补码，尾数为规格化形式，并假设阶符取2位，阶码的数值部分取7位，数符取2位，尾数取n位，则该补码在shu
举例
五、算术逻辑单元
ALU电路
ALU 算术逻辑单元电路，ALU也就是运算器
ALU 有两个输入端$A_i,B_i$ 1个输出端$F_i$ 1个控制端$K_i$
$K_i$取不同的值输出也不相同
快速进位链
并行加速法
串行进位链
进位链 传送进位的电路
串行进位链 进位串行传送
以4位全加器为例 设与非门的级延迟时间为$t_y$
4位全加器产生进位的全部时间为$8t_y$
n位全加器产生进位的全部时间为$2nt_y$
并行进位链
以4位全加器为例 设与或非门的级延迟时间为$1.5t_y$，与非门的级延迟时间为$t_y$
4位全加器产生进位的全部时间为$2.5t_y$
1）单重分组跳跃进位链
n位全加器分若干小组，小组中的进位同时产生，小组与小组之间采用串行进位
n组全加器产生进位的全部时间为$2.5nt_y$
2）双重分组跳跃进位链
n位全加器分若干大组，大组中又包含若干小组。每个大组中小组的最高进位同时产生。大组与大组之间采用串行进位
图我就不放了，感觉有点没听懂
