《算法图解》第七章笔记_迪杰斯特拉算法

软件环境：Python 3.7.0b4

一、迪杰斯特拉（dijkstras）算法介绍

算法目标：找出一个图中最快（耗时最短）的路径。

实现步骤：

1. 找出最短时间内前往的节点；
2. 对于该节点的邻居，检查是否有前往它们的更短路径，如果有，就更新其开销；
3. 重复这个过程，直到对图中的每个节点都重复了以上两个步骤；
4. 计算最终路径。

 

二、迪杰斯特拉算法术语介绍

迪杰斯特拉算法用于每条边都有关联数字的图，这些数字称为权重（weight）。

带权重的图称为加权图（weighted graph），不带权重的图称为非加权图（unweighted graph）

要计算非加权图中的最短路径，可使用广度优先搜索。要计算加权图中的最短路径，可使用狄克斯特拉算法。

 

三、算法实现

以下图为例

要解决这个问题，需要先画出三个散列表：

随着算法的进行，我们将不断更新散列表costs和parents。

graph = {}  #首先需要实现这个图

 

需要同时存储邻居和前往邻居的开销

graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2

    

同时还需要用一个散列表来存储每个节点的开销，一个存储父节点的散列表，一个数组。

下面来看看算法的执行过程：

完整代码如下（Python）

# 添加节点和邻居
graph = {}
graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2

graph["a"] = {}
graph["a"]["fin"] = 1

graph["b"] = {}
graph["b"]["a"] = 3
graph["b"]["fin"] = 5

graph["fin"] = {}  # 终点没有邻居

# 存储每个节点开销的散列表
infinity = float("inf")
costs = {}
costs["a"] = 6
costs["b"] = 2
costs["fin"] = infinity

# 存储父节点的散列表
parents = {}
parents["a"] = "start"
parents["b"] = "start"
parents["fin"] = None

processed = []  # 一个数组，用于记录处理过的节点。因为对于同一个节点，不用处理多次。

def find_lowest_cost_node(costs):
    lowest_cost = float("inf")
    lowest_cost_node = None
    # 遍历所有的节点
    for node in costs:
        cost = costs[node]
        # 如果当前节点的开销更低且未处理过
        if cost < lowest_cost and node not in processed:
            # 就将其视为开销最低的节点
            lowest_cost = cost
            lowest_cost_node = node
    return lowest_cost_node

# 在未处理的节点中找出开销最小的节点
node = find_lowest_cost_node(costs)
# 这个while循环在所有节点都被处理过后结束
while node is not None:
    cost = costs[node]
    # 遍历当前节点的所有邻居
    neighbors = graph[node]
    for n in neighbors.keys():
        new_cost = cost + neighbors[n]
        # 如果经当前节点前往该邻居更近
        if costs[n] > new_cost:
            # 就更新该邻居的开销
            costs[n] = new_cost
            # 同时将该邻居的父节点设置为当前节点
            parents[n] = node
    # 将当前节点标记为处理过
    processed.append(node)
    # 找出接下来要处理的节点，并做循环
    node = find_lowest_cost_node(costs)

print ("Cost from the start to each node:")
print (costs)

 

四、小结

• 广度有限搜索用于在非加权图中查找最短路径。
• 迪杰斯特拉算法用于在加权图中查找最短路径。
• 仅当权重为正时迪杰斯特拉算法才管用。
• 如果图中包含负权边，考虑使用贝尔曼-福德（Bellman-Ford）算法。