CF1706E 题解

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题目大意

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，询问 $q$ 次，每次询问会指定两个正整数 $l,r$，问要使对于 $l \leq a \leq b \leq r$ 的所有 $a,b$ 均有路径可以互相到达，最少需要加入前多少条边。

思路

考虑到每一次询问实质上就是问你在按顺序加了多少条边之后，编号 $[l,r]$ 之间的点都在同一个联通块中。

记 $mintim(i)$ 表示 $i$ 和 $i+1$ 在加了 $mintim(i)$ 条边之后处在同一个联通块，那么每一次询问的答案就是 $\max_{i=l}^{r-1} mintim(i)$。

在求解出所有的 $mintim(i)$ 之后就可以直接用 ST 表或者线段树解决区间查询。

那么现在问题在于怎么求解 $mintim(i)$。

考虑顺序加边用启发式合并的思想处理 $mintim(i)$，具体操作流程如下：

• 当前要合并 $x,y$ 所在的集合 $S(x),S(y)$。
• 如果 $|S(x)|<|S(y)|$，那么遍历 $S(x)$ 中的每一个元素 $p \in S(x)$，处理 $mintim(p-1)$ 和 $mintim(p)$。
• 否则交换 $x,y$ 再操作即可。

不难看出每一个点在启发式合并的过程中最多被合并 $\log_2 n$ 次，而并查集复杂度为 $O(α(n))$，所以处理 $mintim$ 的这一部分复杂度为 $O(n \log_2 n α(n))$。

总时间复杂度 $O(n \log_2 n α(n)+q \log_2 n)$，可以通过本题。

#include<bits/stdc++.h>
 
#define RI register int
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define YES puts("YES")
#define NO puts("NO")
 
using namespace std;
 
namespace IO{
	inline int read(){
		RI X=0, W=0;register char ch=getchar();
		while(!isdigit(ch)) W|=ch=='-', ch=getchar();
		while(isdigit(ch)) X=(X<<1)+(X<<3)+(ch^48), ch=getchar();
		return W?-X:X;
	}
	inline void write(int x){
		if(x<0) x=-x, putchar('-');
		if(x>9) write(x/10);
		putchar(x%10+'0');
	}
}using namespace IO;
 
const int MAXN = 2e5+5;
 
int n, m, q;
int fa[MAXN];
int tree[MAXN << 2], minn[MAXN];
int siz[MAXN];
 
vector<int> G[MAXN];
 
inline int find(int x){
	if(fa[x]==x) return x;
	return fa[x]=find(fa[x]);
}
 
inline void build(int p, int l, int r){
	if(l==r){
		tree[p]=minn[l];
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(p<<1,l,mid), build(p<<1|1,mid+1,r);
	tree[p]=max(tree[p<<1],tree[p<<1|1]);
}
 
inline int ask(int p, int l, int r, int L, int R){
	if(L>R) return 0;
	if(L<=l && r<=R) return tree[p];
	int mid=(l+r)>>1, res=0;
	if(L<=mid) res=ask(p<<1,l,mid,L,R);
	if(R>mid) res=max(res,ask(p<<1|1,mid+1,r,L,R));
	return res;
}
 
inline void solve(){
	//4 [space]
	n=read(),m=read(),q=read();int p;fa[n+1]=n+1;
	for(int i=1;i<=n;++i) G[i].clear(), G[i].push_back(i), fa[i]=i, siz[i]=1, minn[i]=1e9;
	for(int i=1;i<=m;++i) {
		int x, y;
		x=read(), y=read();
		x=find(x), y=find(y);
		if(x==y) continue;
		if(siz[x]>siz[y]) swap(x,y);
		siz[y]+=siz[x];fa[x]=y;
		for(int A=0;A<G[x].size();++A){
			p=G[x][A];
			if(find(p)==find(p+1)) minn[p]=min(i,minn[p]);
			if(find(p)==find(p-1)) minn[p-1]=min(minn[p-1],i);
			G[y].push_back(p);
		}
		G[x].clear();siz[x]=0;
	}
	build(1,1,n-1);
	while(q--){
		int l, r;
		l=read(), r=read();
		write(ask(1,1,n-1,l,r-1)), putchar(32);
	}
	putchar(10);
}
 
int main(){
	int t=read();
	while(t--) solve();
	return 0;
}

最后附上 评测记录。