bzoj1042: [HAOI2008]硬币购物

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 100005
#define maxk 16
int c[5],tot,n,d[5],num[maxk];
typedef long long ll;
ll f[maxn],ans;
void read(int &x){
    x=0; int f=1; char ch;
    for (ch=getchar();!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
    for (;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0'; x*=f;
}
ll calc(int x,int y){
    for (int i=0;i<4;i++) if ((x>>i)&1) y-=c[i+1]*(d[i+1]+1);
    if (y<0) return 0;
    if (num[x]&1) return -f[y];
    else return f[y];
}
int lowbit(int x){return x&(-x);}
int main(){
    for (int i=1;i<16;i++) num[i]=num[i-lowbit(i)]+1;
    for (int i=1;i<=4;i++) read(c[i]);
    memset(f,0,sizeof(f)),f[0]=1;
    for (int i=1;i<=4;i++){
        for (int j=c[i];j<=100000;j++){
            f[j]+=f[j-c[i]];
        }
    }
    read(tot);
    for (;tot;--tot){
        for (int i=1;i<=4;i++) read(d[i]); read(n);
        ans=0; for (int i=0;i<16;i++) ans+=calc(i,n);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1042。

题目大意：硬币购物一共有4种硬币。面值分别为c1,c2,c3,c4。某人去商店买东西，去了tot次。每次带di枚ci硬币，买s
i的价值的东西。请问每次有多少种付款方法。

Input　第一行 c1,c2,c3,c4,tot 下面tot行 d1,d2,d3,d4,s,其中di,s<=100000,tot<=1000。

Output  每次的方法数。

 做法：初看这题，对于每个询问，就是一个多重背包嘛，但是复杂度较高，过不了此题，我们发现这跟其他的背包有一点不同，就是物品只有4中，我们发现可以有指数级做法，想到了容斥原理，怎么容斥呢？显然，如果每个询问都没有限制，我们只需要O（n）的复杂度预处理，每次询问时便可以O（1）的回答了。但是怎么转化呢，这题中限制了上界不好转化，我们可以用容斥的一般式转化为补集,然后就变成了有部分变量规定了下界限制，我们在等式两边同时减去下界和即可，转化为了可以预处理出来的无限制的背包问题。容斥的注意事项，我们用一个4位的二进制数上各位的0/1来决定取还是不取，O（n）预处理出每个4位二进制数上1的个数，num[i]=num[i-lowbit(i)]+1，这很显然嘛。。

容斥原理+动态规划。