BSGS算法

BSGS算法，即大小步算法（Baby-Step-Giant-Step）

俗称北上广深、拔山盖世算法。

 

用途

可以在$O(\sqrt{P})$的时间负复杂度求出形如$A^x\equiv B ( mod P ),(Gcd(P,A)=1)$的方程的最小非负整数解。

实现

根据费马小定理，我们不难证明若最小非负整数$x$存在，那么一定有$x<P$，那么我们不妨假设$x=kn-m,A^{kn-m}\equiv B$，其中$n$为$\sqrt{P}$向上取整，$k、m$为不超过$n$的正整数。

 

这样做有什么好处呢？我们发现$k、m$都是取值范围小于$\sqrt{P}$的正整数，我们想要利用好这条性质，就要把式子变一下形:

$$ A^{kn-m}\equiv B ( mod P )$$

$$ A^{kn}\equiv A^{m}\cdot B ( mod P )$$

我们令$G=A^n( mod P )$，则

$$ G^k\equiv A^{m}\cdot B ( mod P )$$

这样，我们就可以先处理处每一个$ A^{m}\cdot B $，存进哈希表中，再求出$G=A^n$，并依次枚举$ G^k $在哈希表中是否存在，优先取$k$小的即可，最终就有$x=kn-m$。

 

扩展

不难看出，以上过程依托费马小定理限定了$x$的取值范围，所以限制是$(Gcd(P,A)=1)$，但如果不是这样呢？

我们不妨假设$(Gcd(P,A)=d),A=a\times d，B=b\times d，P=p\times d$（如果$B$不是$d$的倍数则方程在整数范围内无解）

则：

 $$(a\cdot d)^x \equiv b\cdot d (mod (p\cdot d))$$

根据等式的性质，一定有

$$ a\cdot (a\cdot d)^{x-1}\equiv b (mod p)$$

$$ (a\cdot d)^{x-1}\equiv b\cdot a^{-1} (mod p)$$

依照上文求解即可

 

附上SDOI2016计算器的代码

大家不要在意我丧心病狂的写了个trie树当哈希用...

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
#define LL long long
#define mid (l+r>>1)
#define M 1020000
using namespace std;
LL read(){
	LL nm=0,fh=1;char cw=getchar();
	for(;!isdigit(cw);cw=getchar()) if(cw=='-') fh=-fh;
	for(;isdigit(cw);cw=getchar()) nm=nm*10+(cw-'0');
	return nm*fh;
}
LL m,mod,T,tpe,k,tmp,p[M][10],node,hv0,cnt=1,tg[M];
LL qpow(LL x,LL qs){ 	
	LL fin=1;
	while(qs){
		if(qs&1) fin=fin*x%mod;
		x=x*x%mod,qs>>=1;
	}
	return fin;
}
void ins(LL x,LL id){
	if(x==0){hv0=max(id,hv0);return;}
	LL now=1;
	while(x>0){
		if(p[now][x%10]==0){
		    p[now][x%10]=++cnt;
			tg[cnt]=-1;
			for(LL i=0;i<10;i++) p[cnt][i]=0;
		}
		now=p[now][x%10],x/=10; 
	}
	tg[now]=max(tg[now],id);
}
LL find(LL x){
	if(x==0) return hv0;
	LL now=1;
	while(x>0){
		if(p[now][x%10]==0) return -1;
		now=p[now][x%10],x/=10;
	}
	return tg[now];
}
void init(int x){
	if(x==0) return;
	for(int i=0;i<=9;i++) init(p[x][i]),p[x][i]=0;
	tg[x]=-1;
}
void getans(){
	if(tpe==1){printf("%lld\n",qpow(k,m));return;}
	if(tpe==2){
	    if((k%mod==0)^(m%mod==0)) puts("Orz, I cannot find x!");
		else printf("%lld\n",m*qpow(k,mod-2)%mod);
		return;
	}
	init(1),m%=mod,k%=mod,hv0=-1;
	if((k==0)^(m==0)){puts("Orz, I cannot find x!");return;}
	LL n=sqrt(mod)+1,u;
	u=qpow(k,n),cnt=1;
	for(LL i=1,now=k;i<=n;i++,now=now*k%mod) ins(now*m%mod,i);
	for(LL i=1,now=u;i<=n;i++,now=now*u%mod){
		LL tk=find(now);
		if(tk==-1) continue;
		printf("%lld\n",i*n-tk);
		return;
	}
	puts("Orz, I cannot find x!");
}
int main(){
	hv0=-1,T=read(),tpe=read(),memset(tg,-1,sizeof(tg));
	while(T--){k=read(),m=read(),mod=read(),getans();}
	return 0;
}