题解 CF653F Paper task
CF653F Paper task
给定一个长度为 \(n\) 和括号串,求本质不同的合法括号串个数。\(n\le 5\times 10^5\)。
考虑如果不是求本质不同,可以想到 DP。
设 \(f_{i}\) 表示以 \(i\) 结尾的括号串数,容易发现 \(f_{i}=f_{t_{i}-1}+1\),其中 \(t_{i}\) 表示与 \(i\) 匹配的左括号位置。用栈模拟即可做到 \(O(n)\)。我们考虑把这个转移的边建出来,然后发现这是一个森林的结构。
再考虑去重,利用 SA,对于每个数的 \(f_{i}\),我们只取长度严格大于 \(height_{i}\) 的串,这对于森林中就是到根到该点路径的一段前缀,倍增优化跳的过程即可做到 \(O(n\log n)\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=5e5+5;
char s[maxn];
ll n, m=100;
ll num[maxn], rk[maxn], sa[maxn], tp[maxn], height[maxn], g[maxn];
void basesort(){
memset(num,0,sizeof(num));
for(ll i=1;i<=n;i++) num[rk[i]]++;
for(ll i=1;i<=m;i++) num[i]+= num[i-1];
for(ll i=n;i>=1;i--) sa[num[rk[tp[i]]]--]=tp[i];
return ;
}
void SuffixSort() {
m=100s;
for(ll i=1;i<=n;i++) rk[i]=s[i]-'('+1,tp[i]=i;
basesort();
for(ll w=1,p=0;p<n;m=p,w<<=1) {
p=0;
for(ll i=1;i<=w;i++) tp[++p]=n-w+i;
for(ll i=1;i<=n;i++) if(sa[i]>w) tp[++p]=sa[i]-w;
basesort();
for(ll i=1;i<=n;++i) swap(tp[i],rk[i]);
rk[sa[1]]=1;
p=1;
for(ll i=2;i<=n;i++) {
if(tp[sa[i-1]]==tp[sa[i]]&&tp[sa[i-1]+w]==tp[sa[i]+w]) rk[sa[i]]=p;
else rk[sa[i]]=++p;
}
}
return ;
}
ll f[maxn][20];
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0), cout.tie(0);
cin>>n;
for(ll i=1;i<=n;i++) cin>>s[i];
for(ll i=1;i<=n+1;i++) {
for(ll j=0;j<20;j++) f[i][j]=n+1;
}
vector<ll> vec;
for(ll i=n;i>=1;i--) {
if(s[i]==')') vec.push_back(i);
else {
if(vec.size()&&s[vec.back()]==')') {
f[i][0]=vec.back()+1;
g[i]=g[vec.back()+1]+1;
for(ll j=1;j<20;j++) f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
vec.pop_back();
}else vec.push_back(i);
}
}
SuffixSort();
ll k=0;
for(ll i=1;i<=n;i++) {
if(k) --k;
ll j=sa[rk[i]-1];
while(i+k<=n&&s[i+k]==s[j+k]) ++k;
height[rk[i]]=k;
}
ll ans=0;
for(ll i=1;i<=n;i++) {
ll x=sa[i];
for(ll j=19;j>=0;j--) if(f[x][j]-sa[i]<=height[i]) x=f[x][j];
ans+=g[x];
}
cout<<ans<<'\n';
return 0;
}