线段树与树状数组

线段树与树状数组都是十分经典的数据结构，其实能用树状数组解决的问题也都能用线段树解决，但线段树相比于树状数组常数较大。
单点修改区间查询
线段树做法，树状数组做法，其实单纯实现这个还是用树状数组较好（毕竟常数小还好写）
区间修改区间查询

1. 只有区间加 树状数组做法，线段树做法
2. 既有区间加又有区间乘，应该只能用线段树做法了，注意要乘法优先（每次更改时先乘再加）。

权值线段树/树状数组
其实就是正常线段树/树状数组维护的定义域下标为正常下标，现在为权值。
扫描线
这是个很重要的东西，可以解决二维数点问题。就是将两个维度的偏序关系一个维排序，另一个维用树状数组维护。求矩形面积并要用线段树维护。（详见此题）
不断插入区间，一边插入一边问给定[l,r],插入过的与[l,r]相交的区间有多少
答案其实就是：r之前的所有区间开头数（包括R）$-$l之前的所有区间结尾数（不包括l）,用线段树或树状数组维护前缀。
区间可以拆成左右两个端点维护。（例）

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线段树专讲
线段树其实就是通过几个小区间的信息，合并出一个大区间的信息，所以线段树的运算要满足结合律。对不同题目，我们要考虑记录不同的信息，要合并它们。

1. 动态开点线段树
   就是定义域下标范围太大，不能把整棵树开满，那就用一个点，看一个点
   code：

点击查看代码

inline void update(int &o,int l,int r,int x,int val){
  if(!o)o=++ncnt;//开点
  if(l==r){
      sum[o]+=val;return;
  }
  int mid=(l+r)>>1;
  if(x<=mid)update(lc[o],l,mid,x,val);
  else update(rc[o],mid+1,r,x,val);
  pushup(o);
}
int ask(int o,int l,int r,int L,int R){
  if(!o)return 0;//没这个点，直接返回0
  if(L<=l && R>=r)return sum[o];
  int val=0;
  int mid=(l+r)>>1;
  if(L<=mid)val+=ask(lc[o],l,mid,L,R);
  if(R>mid)val+=ask(rc[o],mid+1,r,L,R);//递归计算
  return val;
}

2. 线段树二分，线段树上二分，听起来挺高深，其实就是像二分一样每次判断查询区间往右挪还是往左挪，然后想应该去的方向递归。
3. 线段树维护区间最大子段和
   线段树每个点维护四个信息，区间最大子段和，最大前缀，最大后缀，区间和。用这几个条件合并（例）
4. 结合树
   对一棵子树修改/查询，由于字数内dfs序是连续的，用线段树维护。（例）
5. 区间修时取模操作
   由于每次取模至少减半，所以一个数最多被修改$log$次，区间修时可以递到每个l==r更改，复杂度$lo{g}^2$(例）
6. 当我们每次对区间增加一个等差数列，求单点，可以线段树维护差分数组。（例）
7. 当区间修改是要排序，并且值域范围不大时，可以在线段树每个点统计每个值在这个区间出现多少次，每次要对某区间排序时要先取出每个值出现多少次，然后按AAA..BB...CC..的方法进行值域大小次区间改（比如将第一个阶段区间的A数量改变）

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树状数组专讲
单点修矩阵查
二维其实与一维没什么区别，就是两个维跳lowbit而已和二位前缀和。
矩阵修改矩阵查询
这个还是用树状数组解比较舒服，其实就是树状数组的单点修矩阵查加上区间修区间查的差分思想，要推的式子见这里
逆序对
向前走时加一个权值树状数组，其实相当于二维数点的一维已经排好序了。