二分图匹配 学习笔记

 二分图，顾名思义，其点可以分成两部分，而与之相连的边一定是由一部分连向另一部分的。特殊的，树也是一种二分图。

实际上，如果设图G=(V,E)是一个无向图，并且点集V可分割为两个互不相交的子集V1,V2，那么称此图G为二分图。

而匹配一词，用比较正规的话来说，是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共点。

匹配边：在一个匹配中的边

匹配点：匹配边相连的点

非匹配边：not 匹配边

非匹配点：not 匹配点

最大匹配：一个图中所有匹配中最大的那个

完美匹配：一个图中所有点都是匹配点，这个匹配就是完美匹配

如果我们要在一个图里求最大匹配，一个显然的暴力做法是枚举每一个可能的匹配并维护最大值。这个算法的时间复杂度高到上天。

实际上， 我们可以用匈牙利算法来求一个叫做增广路的东西，以此来求最大匹配。

说增广路之前先说什么叫交替路。 交替路指的是一个这样的路径，从一个非匹配点出发，交替经过匹配边和非匹配边。 增广路指的是从一个非匹配点出发，走交替路，如果途径另外一个非匹配点，这条交替路就称为增广路。

增广路有很多性质，这里不讨论。

我们说一下匈牙利算法。

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名.该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

通俗的讲，这是一个绿与被绿的过程（逃

在我学习匈牙利算法的时候，我看到一个非常生动形象的图，我把它贴在这，大家可以看看

上面那个图就是一个二分图。匈牙利算法是一个基于dfs的过程，只需要枚举一遍第一个集合里的所有点，在所有点都做一次dfs就可以。

首先a去找1，然后b试图找1发现a已经和1配对了，并且a不能去找其他人，所以b不能找1，b要去找2.然后c试图找2，同时c发现就算c连了2也不会影响b，因为b还可以连3.此时连接完毕，算法结束。

超简单的是吧= =