金明的预算方案

原题链接：https://www.luogu.org/problem/show?pid=1064

带有附件的背包问题，它属于01背包的变式。

这题还好，每一个物品最多只有两个附件，那么我们在对主件进行背包的时候，决策就不再是两个了，而是五个。

还记得01背包的决策是什么吗？

1.不选，然后去考虑下一个

2.选，背包容量减掉那个重量，总值加上那个价值。

 

这个题的决策是五个，分别是：

1.不选，然后去考虑下一个

2.选且只选这个主件

3.选这个主件，并且选附件1

4.选这个主件，并且选附件2

5.选这个主件，并且选附件1和附件2.

这个。。。很好想吧。。。

 

我们知道，01背包的状态转移方程（已进行滚动数组优化）是f[j] = max(f[j],f[j-w[i]]+c[i])，那么，这道题的转移方程也就不难写出了。

等等，你得先判断某个选附件的决策是不是可行的，如果当前的容量还够放第一个，或第二个，或两个都选的附件，那么才能考虑转移。

当然，不选附件的话就不用判啦，直接01背包的转移方程即可。

我们令main_item_w数组表示某个主件的费用，而main_item_c数组表示某个主件的价值。

同样的，用二维数组annex_item_w表示某个附件的费用，annex_item_c表示某个附件的价值，第二维只需要0,1,2这三个数，其中第二维是0的场合表示这个主件i的附件数量，它只能等于0或1或2。第二维是1或者是2的值代表以i为主件的附件1或者附件2的相关信息（费用 价值）。这些数组的信息应该在读入时处理好，具体详见代码。

这样，状态转移方程就是四个。

不选附件的①：f[j] = max(f[j],f[j-main_item_w[i]]+main_item_c[i]);

选附件1的②：f[j] = max(f[j],f[ j - main_item_w[i] - annex_item_w[i][1] ] + main_item_c[i] + annex_item_c[i][1]);

选附件2的③：f[j] = max(f[j],f[ j - main_item_w[i] - annex_item_w[i][2] ] + main_item_c[i] + annex_item_c[i][2]);

选附件1和附件2的④：f[j] = max(f[j],f[ j - main_item_w[i] - annex_item_w[i][1] - annex_item_w[i][2] ] + main_item_c[i] + annex_item_c[i][1] + annex_item_c[i][2]);

已经滚动掉了第一维，道理和正常向的01背包都是一样的，即只有i和i-1有关系，但是这个规律在循环中已经满足了所以完全没必要记录。

目标状态f[n]，输出就好。

参考代码：

#include <iostream>
#define maxn 32005
using namespace std;
int n,m;
int v,p,q;
int main_item_w[maxn];
int main_item_c[maxn];
int annex_item_w[maxn][3];
int annex_item_c[maxn][3];
int f[maxn];
int main(){
    cin >> n >> m;
    for (int i=1;i<=m;i++){
        cin >> v >> p >> q;
        if (!q){
            main_item_w[i] = v;
            main_item_c[i] = v * p;
        }
        else{
            annex_item_w[q][0]++;
            annex_item_w[q][annex_item_w[q][0]] = v;
            annex_item_c[q][annex_item_w[q][0]] = v * p;
        }
    }

    for (int i=1;i<=m;i++)
        for (int j=n;main_item_w[i]!=0 && j>=main_item_w[i];j--){
            f[j] = max(f[j],f[j-main_item_w[i]]+main_item_c[i]);

            if (j >= main_item_w[i] + annex_item_w[i][1])
                f[j] = max(f[j],f[ j - main_item_w[i] - annex_item_w[i][1] ] + main_item_c[i] + annex_item_c[i][1]);

            if (j >= main_item_w[i] + annex_item_w[i][2])
                f[j] = max(f[j],f[ j - main_item_w[i] - annex_item_w[i][2] ] + main_item_c[i] + annex_item_c[i][2]);

            if (j >= main_item_w[i] + annex_item_w[i][1] + annex_item_w[i][2])
                f[j] = max(f[j],f[ j - main_item_w[i] - annex_item_w[i][1] - annex_item_w[i][2] ] + main_item_c[i] + annex_item_c[i][1] + annex_item_c[i][2]);

         }
     cout << f[n] << endl;
     return 0;
}