计蒜客 动态规划基础 蒜头君的城堡之旅

规划基础 蒜头君的城堡之旅

题目：

蒜国地域是一个 n 行 m 列的矩阵，下标均从 1 开始。蒜国有个美丽的城堡，在坐标 (n,m) 上，蒜头君在坐标 (1,1) 的位置上。蒜头君打算出发去城堡游玩，游玩结束后返回到起点。在出发去城堡的路上，蒜头君只会选择往下或者往右走，而在返回的路上，蒜头君只会选择往上或者往左走，每次只能走一格。已知每个格子上都有一定数量的蒜味可乐，每个格子至多经过一次。

现在蒜头君请你来帮他计算一下，如何计划来回行程，可以收集到最多的蒜味可乐。

输入格式

第一行输入两个整数 n,m(1≤n,m≤50)，表示蒜国是一个 n 行 m 列的矩阵。

接下来输入 n 行，每行输入 m 个整数，代表一个 n×m 的矩阵，每个整数代表对应位置上的蒜味可乐数量，每行的每两个整数之间用一个空格隔开。其中蒜头君的位置和城堡的位置上没有蒜味可乐，用 0 表示，其余位置上的整数范围在 [1,100] 内。

输出格式

输出一行，输出一个整数，表示蒜头君在来回路上能收集到的蒜味可乐的最大值。

样例输入

3 3

0 2 9

4 8 6

2 7 0

样例输出

36

分析：

（可以理解为从起点出发的不相交的两条路径）

首先，要注意一个问题：不能先算出去的最大值，再算返回的最大值。这样可能导致只保证了去的最大值，但没有保证来回之和的最大值。也就是说，来回的优先级是相同的，但是如果先算去路的最大值就会使得去的优先级高于回的优先级。

容易注意到本题的范围不大，所以可以用一个四维数组： f[i][j][k][l] 来表示路径1走到 [i][j] 和路径2走到 [k][l] 的和的最优值。

其中，因为走的步数相同，所以 i+j=k+l （可以利用这个等式来把空间和时间复杂度降一级），不难想到只要当前一步的两条路径没有走到用一个点，两条路径就不会相交（如果相交，重叠部分的可乐只能领取一次，就不是最优情况）。

最后就不难写出动规方程：  f[i][j][k][l] = max(max(f[i-1][j][k-1][l], f[i][j-1][k-1][l]), max(f[i-1][j][k][l-1], f[i][j-1][k][l-1]))+map[i][j]+map[k][l]; 其中第一部分是求两个路径当前点的两个前趋情况的和的最大值（一共是 2×2 四种情况，所以用了一个 max 套两个 max）。

最最后，因为两条路径在终点还是会交于一点，所以千万不能输出 f[n][m][n][m] ，应该输出 f[n-1][m][n][m-1] 。

 

标程：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,m,map[55][55],f[55][55][55][55];
int main()
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    cin >> n >> m;
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        for (int j=1; j<=m; j++)
        {
            cin >> map[i][j];
        }
    }
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        for (int j=1; j<=m; j++)
        {
            for (int k=1; k<=n; k++)
            {
                for (int l=1; l<=m; l++)
                {
                    if (i+j!=k+l)
                        continue;
                    if (i==k && j==l)
                        continue;
                    f[i][j][k][l] = max(max(f[i-1][j][k-1][l], f[i][j-1][k-1][l]), max(f[i-1][j][k][l-1], f[i][j-1][k][l-1]))
                    +map[i][j]+map[k][l];
                }
            }
        }
    }
    cout << f[n-1][m][n][m-1] << endl;
    return 0;
}