Centroid Probabilities

2023-10-06

题目

Centroid Probabilities

难度&重要性(1~10):8

题目来源

luogu

题目算法

组合数学，dp

解题思路

首先我们需要处理一下如何去满足好树的条件。很容易想到，当我们定点 $1$ 为根节点时，每次让结点编号小的当结点编号大的父亲。这样我们就可以保证得到的树是一颗好树，同时能够证明这是不重不漏的。

然后我们考虑如何去判断点 $i$ 是重心。但这样很难，我们不妨把重心这个条件转换一下，变为点 $i$ 的子树大小 $\ge {\displaystyle \frac{n+1}{2}}$ 的方案数。这样转变有什么好处呢，好就是处由于小的结点是大的结点的父亲，我们确定了好树的重心是在点 $i$ 的子树内的，这样我们只需要容斥一下就可以得到答案了。

我们记 $f_i$ 表示以 $i$ 为根结点的子树大小 $\ge {\displaystyle \frac{n+1}{2}}$ 的方案数。然后我们就可以得到一个比较暴力的转移式：

$$f_i=\{\begin{array}{ll}(n-1)!& i=1\\ \sum _{j=\frac{n+1}{2}}^{n-i+1}{C}_{n-i}^{j-1}(n-j-1)!(j-1)!(i-1)& 1<i\le \frac{n+1}{2}\\ 0& \frac{n+1}{2}<i\le n\end{array}$$

主要解释一下当 $1<i\le \frac{n+1}{2}$ 时的情况，我们设当前子树内包括 $i$ 共有 $j$ 个结点，则子树外部就有 $n-j$ 个结点。对于子树中除了点 $i$ 的 $j-1$ 个结点可以在所有大于 $i$ 的点中选择，方案为 $C_{n-i}^{j-1}$。再考虑每一个结点连边的方案：

• 对于点 $i$ 可以连向点 $1\sim i-1$；

• 对于子树内的 $j-1$ 个点，编号第 $k$ 大的点就有 $j-k$ 个点可以连，总方案数就是 $(j-1)!$；

• 对于子树之外的 $n-j$ 个点，编号第 $k$ 大的点就有 $n-j-k$ 个点可以选择，总方案数为 $(n-j-1)!$。

这样合起来就是：

$$f_i=\sum _{j=\frac{n+1}{2}}^{n-i+1}{C}_{n-i}^{j-1}(n-j-1)!(j-1)!(i-1)$$

对于 $i=1$ 和 ${\displaystyle \frac{n+1}{2}}<i\le n$ 的情况我们都可以 $O(1)$ 得到，但是对于 $1<i\le \frac{n+1}{2}$ 情况的时间复杂度是 $O(n)$ 的，我们接受不了，需要化简一下。

$$\begin{array}{rl}{f}_i=& \sum _{j=\frac{n+1}{2}}^{n-i+1}{C}_{n-i}^{j-1}(n-j-1)!(j-1)!(i-1)\\ =& \sum _{j=\frac{n+1}{2}}^{n-i+1}{\displaystyle \frac{(n-i)!(n-j-1)!(j-1)!(i-1)}{(j-1)!(n-i-j+1)!}}\\ =& \sum _{j=\frac{n+1}{2}}^{n-i+1}{\displaystyle \frac{(n-i)!(n-j-1)!(i-1)}{(n-i-j+1)!}}\\ =& \sum _{j=\frac{n+1}{2}}^{n-i+1}{\displaystyle \frac{(n-j-1)!(i-2)!(i-1)}{(n-i-j+1)!(i-2)!}}(n-i)!\\ =& \sum _{j=\frac{n+1}{2}}^{n-i+1}{\displaystyle \frac{(n-j-1)!}{(n-j-i+1)!(i+2)!}}(n-i)!(i-1)!\\ =& (n-i)!(i-1)!\sum _{j=\frac{n+1}{2}}^{n-i+1}{C}_{n-j-1}^{n-i-j+1}\\ =& C_{n-\frac{n+1}{2}}^{n-\frac{n+1}{2}-i+1}(n-i)!(i-1)!\end{array}$$

这样我们就可以 $O(1)$ 解决了 $f_i$。

然后考虑得到答案，即将 $f_i$ 中重心不为 $i$ 的点容斥掉。在这里的处理我对于其他的题解有少许的疑惑，但仔细的想了想发现是对的。

我们知道在 $i$ 的子树中的 $j$ 这个结点是一定对 $f_i$ 有贡献的，但其实这里的 $j$ 个结点是从 $n-i$ 个结点中随机挑选出来的，所以对于重心的祖先结点是均匀分布在 $[1,i]$ 之中的，对于 $f_i$ 的贡献是 ${\displaystyle \frac{1}{i}}$ 的。即 $an{s}_i={\displaystyle \frac{1}{i}}{f}_i\sum _{j=i+1}^{n}an{s}_j$。简单的后缀和即可解决。

时间复杂度 $O(n)$。

完成状态

已完成