[ARC154E] Reverse and Inversion

2023-09-09

题目

难度&重要性(1~10):9.5

题目来源

luogu

题目算法

数学

解题思路

Update :2023.8.28修改一处笔误

这是一道很妙的计数题，考试的时候没想到。

这道题我们首先会想到去化简一下式子 $\sum_{i < j, p_{i} > p_{j}} (j - i)$ ，这很明显是要求逆序对，但是这个 $(j - i)$ 就对我们来说有点棘手，所以很容易想到去将 $i, j$ 拆开分别计算贡献： $\sum_{i < j, p_{i} > p_{j}} j - \sum_{i < j, p_{i} > p_{j}} i$ 。

拆开之后我们就需要有一个主次关系，即以 $i$ 或者 $j$ 的视角来继续化简式子，这里我们以 $i$ 的视角入手，我们需要找到 $i$ 前面比 $p_{i}$ 大的，以及后面比 $p_{i}$ 小的差：

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} i \sum_{j = 1}^{i - 1} [p_{i} < p_{j}] - \sum_{i = 1}^{n} i \sum_{j = i + 1}^{n} [p_{i} > p_{j}] \\ = & \sum_{i = 1}^{n} i (\sum_{j = 1}^{i - 1} [p_{i} < p_{j}] - \sum_{j = i + 1}^{n} [p_{i} > p_{j}]) \end{aligned}

好了，现在我们已经将 $j - i$ 的贡献拆开计算了，但是由于 $[p_{i} < p_{j}]$ 和 $[p_{i} > p_{j}]$ 的符号方向不同，我们也只能分开计算，如何才能将符号统一呢。很简单，只需要将 $\sum_{j = 1}^{i} [p_{i} < p_{j}]$ 旋转一下。

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} i (\sum_{j = 1}^{i - 1} [p_{i} < p_{j}] - \sum_{j = i + 1}^{n} [p_{i} > p_{j}]) \\ = & \sum_{i = 1}^{n} i (\sum_{j = 1}^{i} [p_{i} < p_{j}] - \sum_{j = i + 1}^{n} [p_{i} \geq p_{j}]) \\ = & \sum_{i = 1}^{n} i ((i - \sum_{j = 1}^{i} [p_{i} > p_{j}]) - \sum_{j = i + 1}^{n} [p_{i} > p_{j}]) \\ = & \sum_{i = 1}^{n} i (i - \sum_{j = 1}^{n} [p_{i} > p_{j}]) \end{aligned}

由于题目说了 $p$ 是一个 $1 \sim n$ 的排列，那么比 $p_{i}$ 小于等于的数有多少个能，当然是 $p_{i}$ 个啦。这样我们就得到：

\begin{aligned} \sum_{i < j, p_{i} > p_{j}} (j - i) \\ = & \sum_{i = 1}^{n} i (i - p_{i}) \\ = & \sum_{i = 1}^{n} i^{2} - p_{i} \times i \end{aligned}

这里 $i^{2}$ 是好处理的，但是 $p_{i} \times i$ 不好处理，因为 $p_{i}$ 的位置是不断在变化的。我们为了更好的处理就定义 $w_{i}$ 表示 $p_{i}$ 的最终所在位置，即 $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} - p_{i} \times w_{i}$ 。

但由于 $m \leq 2 \times 10^{5}$ ，是没法暴力处理。因此需要用一个操作：将求和改为求期望位置。这个操作的意义感觉是由下文结果体现的。

我们考虑翻转操作的本质是什么。假设对于 $i$ 位置的值，若要将其翻转到 $j$ 。考虑有多少种操作可行

显然，翻转的中心就是 $\frac{i + j}{2}$ 。

当 $i < j$ 时，方案数为 $min (i, n - j + 1)$ 。
当 $i > j$ 时，方案数为 $min (j, n - i + 1)$ 。

由于分类讨论显然很烦，所以我们就要尝试将它们合并。可以发现，当 $i < j$ 时， $n - i + 1 > n - j + 1$ ，而 $i > j$ 同理，所以两种情况是可以合并在一起为 $min (i, n - i + 1, j, n - j + 1)$ 的。然后，我们就会发现把 $i$ 翻转到 $j$ 的概率与翻转到 $n - j + 1$ 的概率是相等的，那么它的总贡献就是 $n - j + 1 + j = n + 1$ 平均期望位置就是 $\frac{n + 1}{2}$ ,这样我们就将 $i, j$ 的贡献给成功剔除了，而如果 $i$ 没有进行翻转，则期望位置就是 $i$ ，不妨设 $k = \frac{C_{i}^{2} + C_{n - i + 1}^{2}}{C_{n + 1}^{2}}$ ，即一次操作不包括位置 $x$ 的概率。