范德蒙德卷积公式

公式

范德蒙德卷积公式：

$$\sum _{i=0}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-i})}={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k})}$$

证明

证明也非常的简单：
1.组合证明
记现有 $n$ 个男生 $m$ 个女生，在这之中选 $k$ 个人的方案数。
则 $\sum _{i=0}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-i})}$ 表示为先枚举男生的个数，再选女生。${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k})}$ 表示直接选取 $k$ 个人的方案数。
两者显然相等。
2.代数证明

$$\begin{array}{rl}& \sum _{l=0}^{n+m}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{l})}{x}^l\\ & =(1+x{)}^{n+m}\\ & =(1+x{)}^n+(1+x{)}^m\\ & =\left(\sum _{s=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{s})}{x}^s\right)\left(\sum _{t=0}^m{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{t})}{x}^t\right)\\ & =\sum _{l=0}^{n+m}\left(\sum _{i=0}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-i})}\right)x^l\end{array}$$

证毕。

例题

CF785D Anton and School - 2
Sol