范德蒙德卷积公式
公式
范德蒙德卷积公式：
\[\sum\limits_{i=0}^k\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}=\dbinom{n+m}{k}
\]
证明
证明也非常的简单：
1.组合证明
记现有 \(n\) 个男生 \(m\) 个女生，在这之中选 \(k\) 个人的方案数。
则 \(\sum\limits_{i=0}^k\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}\) 表示为先枚举男生的个数，再选女生。\(\dbinom{n+m}{k}\) 表示直接选取 \(k\) 个人的方案数。
两者显然相等。
2.代数证明
\[\begin{aligned} & \sum\limits_{l=0}^{n+m}\dbinom{n+m}{l}x^l\\ & =(1+x)^{n+m}\\ & =(1+x)^n+(1+x)^m\\ & =\left(\sum\limits_{s=0}^n\dbinom{n}{s}x^s\right)\left(\sum\limits_{t=0}^m\dbinom{m}{t}x^t\right)\\ & =\sum\limits_{l=0}^{n+m}\left(\sum\limits_{i=0}^k\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}\right)x^l\end{aligned}
\]
证毕。
