P1648 看守

2023-09-21

题目

P1648 看守

难度&重要性(1~10):8.5

题目来源

luogu

题目算法

状压 dp，数学

解题思路

这道题我们首先要考虑如何去优化曼哈顿距离。（不然它怎么不玩欧式距离）
首先这是一个普通的曼哈顿距离：$\sum _{i=1}^d|A_i-B_i|$
敲重点了，我们可以将 $|A_i-B_i|$ 化为 $max\{A_i-B_i,B_i-A_i\}$
即 $\sum _{i=1}^{d}max\{A_i-B_i,B_i-A_i\}$
这样做有什么好处呢？
因为 $max$ 是满足分配律的：
$max\{a,b\}+max\{c,d\}=max\{a+b,a+c,b+c,b+d\}$
这样曼哈顿距离就表示为：$\underset{k\in \{1,-1\}}{max}\{\sum _{i=1}^{d}k\times A_i-\sum _{i=1}^{d}k\times B_i\}$
这样我们就只需要得到 $\underset{i=1,k\in \{1,-1\}}{\overset{n}{max}}\{\sum _{j=1}^{d}k\times a_{i,j}\}$ 和 $\underset{i=1,k\in \{1,-1\}}{\overset{n}{min}}\{\sum _{j=1}^{d}k\times a_{i,j}\}$。
只需要一减就是答案了。

完成状态

已完成