基数排序

前言

基数排序是一种非常快且好写的排序。
以前一直以为基数排序就是桶排，现在发现自己很智慧，警钟长鸣。

思想

基数排序是一个以桶排为基础的排序。
桶排我就不多说了，简单且 $O(n)$。
但是桶排有一个弊端，就是由于考试时空间限制是 ${10}^8$ 左右，可需要排序的数据是 ${10}^9$ 的，就不能用桶排了。
桶排中的空间其实有一大半都是浪费了的，那么换一种思路，我们可不可以将需要排序的 $a_i$ 拆成一位一位的再做。
这里定义 $x_i$ 和 $y_i$ 中，$x_i$ 表示 $a_i$ 的第 $K$ 位的数，$y_i$ 就表示第 $K-1$ 位的数字。
然后分别对 $x_i$ 和 $y_i$ 进行桶排，并对 $x_i$ 的桶 $c_i$ 做前缀和，这时 $x_i$ 的排名就是 $c_{x_i-1}+1\sim c_{x_i}$。
再对 $y_i$ 建立下标映射，设 $p_{y_i}$ 为 $y_i$ 的下标。
这里 $x_i$ 和 $y_i$ 因为下标相同，表示的就是 $a_i$。
那么我们就可以用 $x_{p_i}$ 来表示 $y_i$ 所对应的 $x_i$。
注意，这里我们从大到小对 $i$ 进行遍历，$y_i$ 就是从大到小的，其 $a_{p_i}$ 就是 $c_{x_{p_i}-1}+1\sim c_{x_{p_i}}$ 范围中排名最大的。
即 $c_{x_{p_i}}$ 就是 $a_{p_i}$ 的排名。最后将 $c_{x_{p_i}}$ 减一再进行下一次遍历。