图论基础

图论

图论 (Graph theory) 是数学的一个分支，图是图论的主要研究对象。图 (Graph) 是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系。顶点用于代表事物，连接两顶点的边则用于表示两个事物间具有这种关系。
————OI Wiki

图有三种

（1）有向图：图内都为有向边
（2）无向图：图内都为无向边
（3）混合图：图内有有向边和无向边

图中的特殊情况：

环：从一个点出发，最后可以回到这个点
自环：从自己到自己的环
重边：多条起点终点相同的边

度的定义

对于无向图：

度：直接连接的边的数量

对于有向图：

入度：指向自己的边的数量
出度：从自己出发的直接边的数量

图的存储

邻接矩阵

定义一个二维数组 $G_{i_{j}}$
如果 $u \to v$ 有一条有向边，则 $G_{u_{v}} = 1$
如果 $u \to v$ 有一条无向边，则 $G_{u_{v}} = G_{v_{u}} = 1$
反之为 $0$
如果有边权 $w$ ：

\begin{array}{r} G_{u_{v}} = w \\ v i s_{u_{v}} = 1 \end{array}

优点：

查询边方便
缺点：
不能直接记录重边
空间消耗太大，只适用于稠密图

邻接表

用点对关系存储边
创建 $n$ 个向量 $v t_{i}$
如果 $u \to v$ 有一条有向边，则 $v t_{u} . p u s h_b a c k (v)$
如果 $u \to v$ 有一条无向边，则 $v t_{u} . p u s h_b a c k (v), v t_{v} . p u s h_b a c k (u)$
优点：

快速遍历a的所有直接边
没有空间浪费
可以存贮重边和自环
缺点：
$a \to b$ 是否存在边判断困难

posted @ 2025-02-16 14:41 KK_SpongeBob 阅读(9) 评论(0) 编辑收藏举报

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