2023-3-22(未批改)
2023-3-22
练习题 8.7
5 作出两个不相交的闭集 \(A,B\) ,使得 \(\rho(A,B)=0\).
令集合 \(A=\{n-\frac{1}{n}:n\in\N^*\},B=\N^*\) 即可.
6 设 \(A\subset\R^n\) 有界.证明:对任何常数 \(c>0\) , \(\{\boldsymbol{p}\in\R^n:\rho(\boldsymbol{p},A)\leq c\}\) 是紧致集.
令该集合为 \(B\) ,显然 \(B\) 是有界的.
任取 \(\boldsymbol{p}\in B^c\) , \(\rho(\boldsymbol{p},A)>c\).\(\forall\boldsymbol{q}\in B_{\rho(\boldsymbol{p},A)-c}(\boldsymbol{p}),\rho(\boldsymbol{q},A)\geq\rho(\boldsymbol{p},A)-||p-q||\geq \rho(\boldsymbol{p},A)-(\rho(\boldsymbol{p},A)-c)=c\).
即 \(B_{\rho(\boldsymbol{p},A)-c}(\boldsymbol{p})\in B^c\) ,故 \(B^c\) 为开集. 所以 \(B\) 是有界闭集,即紧致集.
7 设连续函数 \(f:\R^n\to\R\) 既取正值,也取负值.求证:集合 \(E=\{\boldsymbol{p}\in\R^n:f(\boldsymbol{p})\neq 0\}\) 是非连通集.
令 \(A=\{\boldsymbol{p}\in\R^n:f(\boldsymbol{p})>0\}\neq\varnothing,B=\{\boldsymbol{p}\in\R^n:f(\boldsymbol{p})<0\}\neq\varnothing\).
任取 \(\boldsymbol{p}\in A\) , 因为 \(f\) 在 \(\R^n\) 上连续,故对于 \(\varepsilon_1=|f(\boldsymbol{p})|>0\) ,存在 \(\delta_1>0\),使得当 \(\boldsymbol{x}\in B_{\delta_1}(\boldsymbol{p})\) ,有 \(|f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{p})|<\varepsilon_1=f(\boldsymbol{p})\) ,推出 \(f(\boldsymbol{x})\in(0,2f(\boldsymbol{p}))\).
所以 \(0\notin B_{\delta_1}(\boldsymbol{p})\) , 即 \(B_{\delta_1}(\boldsymbol{p})\subset A\) , 所以 \(A\) 是开集. 同理, \(B\) 也是开集.
\(A,B\) 为 \(E\) 的一个划分,所以 \(E\) 不连通.
练习题 8.8
1 设 \(f:\R^n\to\R^m\) 连续, \(E\subset\R^n\) .求证: \(f(\overline{E})\subset\overline{f(E)}\) ?
若 \(A\subset\R^m\) 为开集,任取 \(\boldsymbol{p}\in f^-1(A)\),存在 \(\varepsilon>0\) 使得 \(B_{\varepsilon}(f(\boldsymbol{p}))\subset A\).
因为 \(f\) 在 \(\R^n\) 上连续,故存在 \(\delta>0\),使得当 \(\boldsymbol{x}\in B_{\delta}(\boldsymbol{p})\) ,有 \(f(\boldsymbol{x})\in B_{\varepsilon}(f(\boldsymbol{p}))\subset A\) ,所以 \(\boldsymbol{x}\in f^{-1}(A)\) , \(f^{-1}(A)\) 为开集.
若 \(A\subset\R^m\) 为闭集,则 \(f^{-1}(A)=(f^{-1}(A^c))^c\) 也为闭集.
令 \(A=\overline{f(E)}\) ,则 \(f^{-1}(A)=f^{-1}(\overline{f(E)})\) 为闭集.
\(E\subset f^{-1}(f(E))\) ,所以 \(\overline{E}\subset \overline{f^{-1}(f(E))}\subset\overline{f^{-1}(\overline{f(E)})}=f^{-1}(\overline{f(E)})\)
所以 \(f(\overline{E})=\overline{f(E)}\).
2 设 \(E\subset\R,f:E\to\R^m\). 证明:
(1) 若 \(E\) 是闭集, \(f\) 连续,则 \(f\) 的图像
\[G(f)=\{(x,f(x)):x\in E\} \] 是 \(\R^{m+1}\) 中的闭集;
(2) 若 \(E\) 是紧致集, \(f\) 连续,则 \(G(f)\) 也是紧致集;
(3) 若 \(G(f)\) 是紧致集,则 \(f\) 连续.
(1) 任取 \(\boldsymbol{p}=(p_1,\boldsymbol{p'})\in (G(f))^c\) ,
当 \(p_1\notin E\) 时,因为 \(E\) 为闭集,故有 \(\rho(\boldsymbol{p},G(f))\geq\rho(p_1,E)>0\) ,所以 \(B_{\rho(p_1,E)}(\boldsymbol{p})\subset(G(f))^c\).
当 \(p_1\in E\) 时,因为 \(f\) 在 \(E\) 上连续,故对于 \(\varepsilon=||f(p_1)-\boldsymbol{p'}||>0\) ,存在 \(\frac{\varepsilon}{3}>\delta>0\),使得当 \(x\in B_{\delta}(p_1)\cap E\) ,有 \(f(x)\in B_{\frac{\varepsilon}{3}}(f(p_1))\).
所以当 \(x\in B_{\delta}(p_1)\cap E\) 时,
当 \(x\in (B_{\delta}(p_1))^c\cap E\) 时, \(||(x,f(x))-\boldsymbol{p}||>||x-p_1||>\delta=\frac{\varepsilon}{3}\).
所以, \(B_{\frac{\varepsilon}{3}}(\boldsymbol{p})\subset(G(f))^c\).
综上所述, \(G(f)\) 为闭集.
(2) 若 \(E\) 是紧致集,令 \(\{a_i\}\to a~~(i\to\infty)\) 为 \(E\) 中任一收敛点列.
由于 \(f\) 连续,故有 \((a_i,f(a_i))\to(a,f(a))~~(n\to\infty)\). 所以 \(G(f)\) 为紧致集.
(3) 在 \(G(f)\) 中任取点列 \(\{(a_i,f(a_i))\}\) ,必有收敛子列 \(\{(a_{k_i},f(a_{k_i}))\}\to (a,\boldsymbol{a'})\) .
其中 \((a,\boldsymbol{a'})\in G(f)\) ,所以有 \(\boldsymbol{a'}=f(a)=\lim\limits_{i\to\infty}f(a_{k_i})\).
所以 \(f\) 在 \(a\) 处连续.因为 \(a\) 可以为 \(E\) 中任一元素,所以 \(f\) 连续.
