2023-3-17

2023-3-17

练习题 8.5

2 设 \(A\in \R^n\) .如果 \(A\) 既是开集又是闭集,求证: \(A=\varnothing\) ,或者 \(A=\R^n\)

这等价于 \(A,A^c\) 均为开集.

假设 \(A\neq \varnothing,A^c\neq \varnothing\) .因为两者均为开集,所以显然有 \(A\cap B'=A'\cap B=\varnothing\).

得出 \(\R^n\) 不是连通的.这显然是错误的,出现矛盾.

所以必然有 \(A=\varnothing\) 或 \(A=\R^n\).

练习题 8.6

3 计算下列极限:

(2) \(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)^{x^2y^2}\) ;

(4) \(\lim\limits_{\substack{x\to+\infty\\y\to+\infty}}(\frac{xy}{x^2+y^2})^{x^2}\) ;

(6) \(\lim\limits_{\substack{x\to+\infty\\y\to+\infty}}(x^2+y^2)e^{-(x+y)}\) .

(2) 令 \(t=2xy\leq x^2+y^2\) ,于是有 \(\frac{t^2\ln t}{4}=x^2y^2\ln 2xy\leq\ln(x^2+y^2)^{x^2y^2}=x^2y^2\ln(x^2+y^2)\leq 0\) ,

​ 所以 \(\lim\limits_{t\to 0}\frac{t^2\ln t}{4}=\ln\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)^{x^2y^2}=0\) ,即 \(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)^{x^2y^2}=1\).

(4) 当 \(x\geq 0,y\geq 0\) 时, \(0\leq(\frac{xy}{x^2+y^2})^{x^2}\leq\frac{1}{4}^{x^2}\) ,

​ 所以 \(\lim\limits_{\substack{x\to+\infty\\y\to+\infty}}(\frac{xy}{x^2+y^2})^{x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{4}^{x^2}=0\)

(6) 当 \(x>0,y>0\) 时, 令 \(t=\sqrt{x^2+y^2}\leq x+y\) , \(0<(x^2+y^2)e^{-(x+y)}\leq t^2e^{-t}\) ,

所以 \(\lim\limits_{\substack{x\to+\infty\\y\to+\infty}}(x^2+y^2)e^{-(x+y)}=\lim_{t\to \infty} t^2e^{-t}=0\) .

5 设二元函数 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 处的某一空心邻域上有定义.对任意固定的 \(y\) ,如果极限 \(\lim\limits_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{x_0}}f(x,y)\) 存在,就令

\[\varphi=\lim_{x\to x_0}f(x,y), \]

它是一个定义在 \(y_0\) 近旁的函数;如果 \(\lim\limits_{y\to y_0}\varphi(y)\) 存在,就令

\[\lim_{y\to y_0}\lim_{x\to x_0}f(x,y)=\lim_{y\to y_0}\varphi(y), \]

称之为函数 \(f\) 在点 \((x_0,y_0)\) 处的一个累次极限.类似地,可以定义另一个累次极限

\[\lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0}f(x,y). \]

(1) 计算函数

\[f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2} \]

​ 在原点处的两个累次极限;

(2) 计算

\[\lim_{x\to\infty}\lim_{y\to\infty}\sin\frac{\pi x}{2x+y},~~~\lim_{y\to\infty}\lim_{x\to\infty}\sin\frac{\pi x}{2x+y}; \]

(3) 计算

\[\lim_{x\to+\infty}\lim_{y\to 0^+}\frac{x^y}{1+x^y},~~~\lim_{y\to 0^+}\lim_{x\to+\infty}\frac{x^y}{1+x^y}. \]

(1) \(\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}f(x,y)=\lim\limits_{x\to0}\frac{0}{x^4}=0,~~~\lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}f(x,y)=\lim\limits_{y\to0}\frac{0}{y^2}=0.\)

(2) \(\lim\limits_{x\to\infty}\lim\limits_{y\to\infty}\sin\frac{\pi x}{2x+y}=\lim\limits_{x\to \infty}\sin 0=0,~~~\lim\limits_{y\to\infty}\lim\limits_{x\to\infty}\sin\frac{\pi x}{2x+y}=\lim\limits_{y\to\infty}\sin\frac{\pi}{2}=1.\)

(3) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\lim\limits_{y\to 0^+}\frac{x^y}{1+x^y}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{2}=\frac{1}{2},~~~\lim\limits_{y\to 0^+}\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^y}{1+x^y}=\lim\limits_{y\to 0^+}1=1.\)

6 设

\[f(x,y)=(x+y)\sin\frac{1}{x}\sin\frac{1}{y}. \]

证明: \(f\) 在原点处两个累次极限均不存在,但是极限

\[\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0. \]

\(\lim\limits_{x\to 0}\sin\frac{1}{x}\) 不存在,于是 \(f\) 在原点处两个累次极限均不存在.

任取 \(\varepsilon>0\) ,当 \(||(x,y)-(0,0)||\leq\delta=\frac{\varepsilon}{2}\) 时, \(|f(x,y)|\leq|2\delta\sin\frac{1}{x}\sin\frac{1}{y}|\leq2\delta=\varepsilon\) ,

所以有 \(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.\)

7 设 \(\lim\limits_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}f(x,y)=a\) 存在,又对 \(y_0\) 近旁的每一个 \(y\) ,极限 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)=h(y)\) 存在.证明:

\[\lim_{y\to y_0}h(y)=a \]

任取 \(\varepsilon>0\) ,存在 \(\delta>0\) ,使得当 \(||(x,y)-(x_0,y_0)||\leq\delta\) 时, 有 \(|f(x,y)-a|\leq\frac{\varepsilon}{2}\) .

当 \(|y-y_0|<\frac{\delta}{2}\) 时,对于特定的 \(y\) 存在 \(0<\delta_1<\frac{\delta}{2}\) 使得当 \(|x-x_0|\leq\delta_1\) 时,有 \(|f(x,y)-h(y)|<\frac{\varepsilon}{2}\) ,

此时 \(||(x,y)-(x_0,y_0)||\leq|x-x_0|+|y-y_0|<\delta\) ,故 \(|f(x,y)-a|\leq\frac{\varepsilon}{2}\) ,所以 \(|h(y)-a|<|f(x,y)-a|+|f(x,y)-h(y)|<\varepsilon\).

于是有 \(\lim\limits_{y\to y_0}h(y)=a\)

8 证明:若二元函数 \(f\) 在某一点处的两个累次极限和极限都存在,则这三个值必相等.

由第7题易得.