2023-3-8

2023-3-8

1 在 \(\R^2\) 中,定义点列

\[\boldsymbol{x}_n=(\frac{1}{n},\sqrt[n]{n})~~~(n=1,2,\cdots). \]

求证: \(\lim\limits_{n\to\infty}\boldsymbol{x}_n=(0,1)\) .

易得

\[\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0, \\\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}=\exp\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=\exp\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{1}=\exp 0=1. \]

所以点列 \(\{\boldsymbol{x}_i\}\) 按分量收敛于 \((0,1)\) ,这等价于点列 \(\{\boldsymbol{x}_i\}\) 按收敛于 \((0,1)\).

3 证明:欧式空间中的收敛点列必是有界的.

设 \(\{\boldsymbol{x}_i\}\) 是欧式空间中的一个点列,且 \(\lim\limits_{n\to\infty}\boldsymbol{x}_n=\boldsymbol{a}\) .

任给 \(\varepsilon>0\) , \(\exists N\in\N^*\) ,当 \(i>N\) 时,有 \(||\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{a}||<\varepsilon\),

令 \(M=\max(\max\limits_{i\leq N}||\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{a}||,\varepsilon)\) .

则对于 \(\forall i\in\N^*\) ,有 \(||\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{a}||<M\) .故 \(\{\boldsymbol{x}_i\}\) 有界.

4 证明:欧式空间中的基本列必是有界的.

设 \(\{\boldsymbol{x}_i\}\) 是欧式空间中的一个基本列.

任给 \(\varepsilon>0\) , \(\exists N\in\N^*\) ,当 \(k,l>N\) 时,有 \(||\boldsymbol{x}_k-\boldsymbol{x}_l||<\varepsilon\) .

令 \(M=\max(\max\limits_{i\leq N}||\boldsymbol{x}_{N+1}-\boldsymbol{x}_i||,\varepsilon)\) .

则对于 \(\forall i\in\N^*\) ,有 \(||\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{x}_{N+1}||<M\) .故 \(\{\boldsymbol{x}_i\}\) 有界.