2023-3-6
2023-3-6
2 设 \(x,y\) 是欧式空间中的向量, \(\theta\) 是这两个向量间的夹角.试证明余弦定理成立:
\[||x-y||^2=||x||^2+||y||^2-2||x||\cdot||y||\cos\theta. \]
由定义可得 \(\cos\theta=\frac{\langle x,y\rangle }{||x||\,||y||}\) .
其中
\[\begin{align*}
\||x||^2-2||x||\cdot||y||\cos\theta+||y||^2&=\langle x,x\rangle -2||x||\cdot||y||\frac{\langle x,y\rangle }{||x||\,||y||}+\langle y,y\rangle
\\&=\langle x,x\rangle -2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle
\\&=\langle x-y,x-y\rangle =||x-y||^2
\end{align*}
\]
所以有
\[||x-y||^2=||x||^2+||y||^2-2||x||\cdot||y||\cos\theta.
\]
4 设 \(x,y\) 为欧式空间中的任意两个向量.证明平行四边形定理:
\[||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2). \]
显然有
\[\begin{align*}
||x+y||^2+||x-y||^2&=\langle x+y,x+y\rangle +\langle x-y,x-y\rangle
\\&=\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle +\langle x,x\rangle -2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle
\\&=2(||x||^2+||y||^2)
\end{align*}
\]
5 设 \(a,b\) 是欧式空间中两个不同的点,记 \(2r=||a-b||\rangle 0\) .求证:
\[B_r(a)\cap B_r(b)=\varnothing. \]
假设 \(B_r(a)\cap B_r(b)\neq\varnothing\) .取 \(c\in B_r(a)\cap B_r(b)\) ,则有 \(||a-b||=2r\leq||a-c||+||c-b||< 2r\) ,矛盾.
故假设不成立.
6 设 \(x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) .证明:对任意的 \(x\in\R^n\) ,有
\[\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n|x_i|\leq||x||\leq\sum_{i=1}^n|x_i|. \]
由均值不等式有
\[(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n|x_i|)^2=(\frac{\sum_{i=1}^n|x_i|}{n})^2\cdot n\leq\frac{\sum_{i=1}^n|x_i|^2}{n}\cdot n=||x||^2=\sum_{i=1}^n|x_i|^2\leq(\sum_{i=1}^n|x_i|)^2
\]
7 证明:对任意的 \(x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\R^n\) ,有
\[\max|x_i|\leq||x||\leq n\max|x_i|. \]
设 \(|x_j|=\max|x_i|\) ,那么有
\[(\max|{x_i}|)^2=|x_j|^2\leq|x_j|^2+\sum_{1\leq i\leq n且i\neq j}|x_i|^2=||x||\leq\sum_{i=1}^n|x_j|^2< (n\max|x_i|)^2
\]
