KMP总结

KMP总结

什么是KMP？

KMP算法，又称为模式匹配算法，能够在线性时间内判定字符串 \(A[1\)~\(N]\) 是否为字符串 \(B[1\)~\(M]\) 的子串，并求出字符串 \(A\) 在字符串 \(B\) 中各次出现的位置。（from 李煜东《算法竞赛进阶指南》）

如何进行KMP？

第一步： \(A\)串进行自我匹配，构造出\(next\)数组

第二步： 通过\(next\)数组和\(B\)串进行匹配，构造出\(f\)数组

什么是\(next\)数组？

\(next[i]\)表示\(A[1..i]\)的前缀和后缀最大匹配的长度（且最大匹配不能为\(A\)串本身），如：（下标从\(1\)开始）

对于串 \(ababcab\)来说，\(next[7]=2\)；（\(A[1..2]\)和\(A[6..7]\)均为\(ab\)）

如何构造\(next\)数组？

（配合代码食用风味更佳）

代码如下：

int next[maxn+5];
void init(char A[],int n){
	next[1]=0;
	for(int i=2,j=0;i<=n;i++){
		while(j>0&&A[i]!=A[j+1]) j=next[j];
		if(A[i]==A[j+1]) j++;
		next[i]=j;
	}
}

十分简短的代码（虽然看不懂 （大雾））。

那么我们来看看是什么意思哈

• 首先，\(next[1]=0\)，这个是显然的（定义），所以\(i\)直接从\(2\)开始；
• 接下来，就是上图的过程了；
• 对于每一次循环，\(j\)的初始值都等于\(next[j-1]\)；
• 在第一次\(while\)中，根据定义可得\(A[i-next[i-1] .. i-1]\)与\(A[1 .. next[i-1]]\)相等（图中蓝色区间）；于是\(A[i-next[next[i-1]]..i-1]\)与\(A[1..next[next[i-1]]\)（新的前后缀）相等(图中的绿色区间)
• 之后在每一次\(while\)循环中，由于\(A[i-j .. i-1]\)与\(A[1 .. j]\)相等，所以只用判断\(A[i]\)与\(A[j+1]\)相不相等了；也只有\(A[i-j .. i-1]\)与\(A[1 .. j]\)相等才有可能匹配。所以，只有\(j=next[i]/next[next[i]]/...\)才可能符合条件。

从某种意义而言，\(next\)数组的构造，就是模式串\(A\)自我匹配的一个过程

什么是\(f\)数组？

\(f[i]\)表示\(A\)串的前缀和\(B[1..i]\)的后缀最大匹配的长度，如：（下标从\(1\)开始）

对于串\(A="abb"\)串 \(B="ababcab"\)来说，\(f[7]=2\)；（\(A[1..2]\)和\(B[6..7]\)均为\(ab\)）

如何构造\(f\)数组？

构造\(f\)数组的过程，和构造\(next\)数组的过程类似。（本质上是一样的）

话不多说，上代码：

int f[maxn+5];
void solve(char A[],int n,char B[],int m){
	for(int i=1,j=0;i<=m;i++){
		while(j>0&&(j==n||B[i]!=A[j+1])) j=next[j];
		if(B[i]==A[j+1]) j++;
		f[i]=j;
	}
}

（还是看不懂）

（不如感性理解）

KMP的应用

事实上，\(f\)数组的构造只是其一个功能，如果将\(solve\)函数的一些部分进行更改，就可以用来解决一些特殊的问题。

在此不多赘述（我懒得写）