ABC315G 解题报告

题意：给定 $n,a,b,c,x$，求满足 $1\le i,j,k\le n$ 且 $ai+bj+ck=x$ 的三元组 $(i,j,k)$ 的个数。$1\le n\le {10}^6$，$1\le a,b,c\le {10}^9$，$1\le x\le 3\times {10}^{15}$。

考虑到 $n$ 只有 ${10}^6$ 级别，我们可以枚举 $i$ 来消掉 $ai$，这样就变成了求 $bj+ck=x-ai$ 的二元组 $(j,k)$ 的个数，这个是容易用扩欧求出的，求出来的 $j$ 和 $k$ 要调边界到 $[1,n]$ 内，比较麻烦，把 $j$ 调到区间的最小，把 $k$ 调到区间的最大，然后对各自的可变化量取个 $min$ 即可。

ps：由于可能会炸所以要开 __int128。

感谢 @YukinoYukinoshita 大佬帮调代码。

复杂度一个 $\log$。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1000005
__int128 n,m,i,j,ans,a,b,c,x,l,r;
__int128 gcd(__int128 a,__int128 b){
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
void exgcd(__int128 a,__int128 b,__int128 c){
    if(b==0){
        l=c/a,r=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,c);
    __int128 tmp=l;
    l=r,r=tmp-a/b*r;
}
inline __int128 read(){
    __int128 x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){
        if (ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(__int128 x){
    if (x<0) putchar('-'),x=-x;
    if (x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
signed main(){
    n=read(),a=read(),b=read(),c=read(),x=read();
    for(i=1;i<=n;i++){
        __int128 k=x-a*i,d=gcd(b,c);
        if(k%d!=0 || k<b+c) continue;
        exgcd(b,c,k);
        __int128 L=c/d,R=b/d;
        if(l>0) {l%=L;if(l==0) l+=L;}
        else {__int128 cnt=(-l)/L+1;l+=cnt*L;}
		if(l>n) continue;
        r=(k-b*l)/c;
        if(r<=0) continue;
        if(r>n){
            if((r-n)%R==0) r=n;
            else r=r-((r-n)/R+1)*R;
            l=(k-c*r)/b;
            if(l>n || r<=0) continue;
        }
        __int128 p1=0,p2=0;
        if(r%R==0) p1=r/R;
        else p1=r/R+1;
        p2=(n-l)/L+1;
        ans+=min(p1,p2);
    }
    write(ans);
    return 0;
}