ABC313C 解题报告

~~赛前看到这场 C 的分值直接飙上 $400$ 就知道不是个善茬。~~

这道题给了个启发，算是积累个 trick 吧。

简要题意：给定长为 $n$ 的序列，进行若干次以下操作：每次选定两个整数 $i$ 和 $j$ ，使得 $a_{i} \leftarrow a_{i} + 1$ 并使得 $a_{j} \leftarrow a_{j} - 1$ ，要求最终序列中 $max {a_{i}} - min {a_{i}} \leq 1$ ，最小化操作次数。数据范围： $1 \leq n \leq 2 \times 10^{5}$ , $1 \leq a_{i} \leq 10^{9}$ 。

由于值域很大，所以类似于枚举 $max {a_{i}}$ 的做法会炸。容易想到一个经典套路：取中位数。但是仔细想想会发现个别极端数据会有很大影响。这时候我们可以类似地想到取平均数。这是可行的，因为相当于取了个中间值。那么 $min {a_{i}}$ = $⌊ \frac{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}}{n} ⌋$ ，但是序列总和可能不能整除 $n$ ，因此余数 $c$ 我们就拆成一个个 $1$ 使得 $max {a_{i}} = min {a_{i}} + 1$ ，这些最大值共有 $c$ 个，剩下的 $n - c$ 个便是最小值。最终序列构造完了，我们随便统计一下变换次数即可。时间复杂度 $O (n)$ 。

代码：

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200005
#define LL long long
int n,m,i,j,a[N],s[N];
LL ans,sum,yu;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),ans+=a[i];
	if(ans%n==0){
		ans/=n;
		for(i=1;i<=n;i++){
			if(a[i]>ans) sum+=a[i]-ans;
		}
		printf("%lld",sum);
		return 0;
	}
	yu=ans%n,ans/=n;
	sort(a+1,a+1+n);
	for(i=1;i<=n-yu;i++) s[i]=ans;
	for(i=n-yu+1;i<=n;i++) s[i]=ans+1;
	for(i=1;i<=n;i++){
		if(a[i]<s[i]) sum+=s[i]-a[i];
	}
	printf("%lld",sum);
	return 0;
}