常州集训数论选记

7.17随便听听数论

（实际上很有可能不会呜呜呜）

质数个数大概是 \(\frac{n}{logn}\),即每 \(\log n\) 个数就有一个质数。

线性筛+暴力好像就可以有一个高级复杂度了呢QaQ

正约数和

如果将一个数 \(a\) 用算术基本定理分解为 \(a=p_{1}^{c_1}*p_{2}^{c_2}*.......*p_{n}^{c_n}\)

则正约数和为 $\prod_{i=1}^{{m}\sum_{j=1}} p_i^j $ 简单来说 \((1+p_1+p_1^2+.......p_1^{c_1})*(1+p_2.....+p_2^{c_2})*........\)

为什么线性筛一定是被最小质因子筛掉：

假设一个合数 \(x\) ，反证法：如果被不是最小的质因子筛掉。

即当前的 i*prime[j]=x 且 i 中一定包含 \(x\) 的最小质因子。

那么在线性筛的过程中 \(i\) 一定会在 i%prime[t]==0 时退出，不会进行到 isprime[i*prime[j]]=true 这一步，prime[t] 为 \(x\) 的最小质因子。

所以线性筛一定是被最小质因子筛掉的。

如果 \(p\) 为质数，\(\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}*(p-1)\)

线性筛欧拉函数的证明：

首先是 \(\phi\) 本身的性质，当 \(a\) 与 \(b\) 互质的时候，\(\phi(ab)=\phi(a)*\phi(b)\)

其实线性筛中最重要的就是这句

phi[i*prime[j]]=i%prime[j]==0 ? phi[i]*prime[j] :phi[i]*(prime[j]-1);

首先 i%prime[j]!=0 所以 i 与 prime[j] 互质。

所以phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]]

然后因为 phi[prime[j]]=prime[j]-1

所以当 i,prime[j] 互质的时候，可以直接 phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1)

而当 i,prime[j] 并不互质的时候，phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]

先给出结论再证明。

首先一个结论：当 p 为质数的时候，\(\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}*(p-1)\)

其实感性理解也很好理解，\(p^k\) 只有 \(p\) 这一个质因子。

那么 \([1,p^k-1]\) 这个区间中与 \(p^k\) 不互质的数就只有 \([1*p,2*p.......(p-1)*p],[1*p^2,......(p-1)*p^2],[...],[....(p-1)*p^{k-1}]\) 一共有\(p^{k-1}\) 个。提一个公因式就变成了 \(p^{k-1}*(p-1)\)

\(\phi(p^k)=p^{k-1}*(p-1)\)

\(\phi(p^{k-1})=p^{k-2}*(p-1)\)

所以可以得到：\(\phi(p^k)=\phi(p^{k-1})*p\)

因为 i,prime[j] 不互质，不妨设 \(prime[j]=p,i=T*p^{k-1}\)

那么 \(i*prime[j]=T*p^k\)

按照上面那种形式分解的话，\(\phi(i*p)=\phi(T)*\phi(p^k)\) （因为 \(T\) 与 \(p^k\) 互质）

又因为 \(\phi(T)*\phi(p^k)=\phi(T)*\phi(p^{k-1})*p\)

因为 \(\phi(T)*\phi(p^{k-1})=\phi(T*p^{k-1})=\phi(i)\)

所以 \(\phi(i*p)=\phi(i)*p\)

得证！

威尔逊定理

高斯吊打威尔逊！

充要条件：p 是质数，则有 \(p-1 \equiv (p-1)!\) ($mod $ \(p\))

只有两个数的逆元是本身，一个是 \(1\) ，一个是 \(p-1\)

7.18认真听听组合数学

我是组合数学fw

鸽巢原理？~

定理：若有 \(n\) 个鸽巢，\(n+1\) 只鸽子，至少有一个鸽巢里至少有两只鸽子。

例：取数问题：

从\(1,2,3,4,......2n\) 中最多取 \(n\) 个数，使得取出的数两两不整除。

例：Halloween Treats

设 \(a_1,a_2.....a_m\) 是正整数序列，则至少存在整数 \(k\) 和 \(l\)，使得 \(a_{k+1}+....a_l\) 能被 \(m\) 整除。

例：国际象棋大师

有 \(11\) 周，每天至少 \(1\) 盘，每周不超过 \(12\) 盘，存在连续若干天恰好下了 \(21\) 盘。

例：Erdos-Szekeres 定理

假设由 \(n^2+1\) 个不同实数构成的序列中，必定含有一个长度为 \(n+1\) 的单调子序列

假设 \(m_i\) 为以 \(a_i\) 为开头的最长单调上升子序列的长度。

那么至少有 \(n+1\) 个 \(m_i\) 相等。不妨设 \(k_1<k_2<.....k_{n+1}\)

且 \(m_{k_1}=m_{k_2}=m_{k_3}...=m_{k_{n+1}}\)

显然不存在 \(a_{k_i}<a_{k_{i+1}}\) 否则这俩的 \(m_i\) 就肯定不相等

于是这 \(n+1\) 个 \(a_{k_i}\) 形成一个单调递减序列。

排列组合

将 \(n\) 个无标号的物品分程若干组，求方案数对 \(10^9+7\) 取MOD的结果 \((n\leq2*10^5)\)

二项式定理

组合数学牛逼，慢慢补了。。