4.18 maths 复变函数 留数部分总结
首先补充关于零点 极点的相关概念及结论
零点
极点
可以看出零点和极点有着密切的关系(可以理解为互逆)
留数
留数定义
留数定理
留数计算
实用技巧
但是要注意所有的非∞的孤立奇点都要在解析域内 像后面取上半圆周等就不能这么算
因此我们可以将 Σ 转化为 求∞点处的留数
∞点留数的计算
留数在实积分计算中的应用
[0,2Π]上的三角积分
(-∞,+∞)上函数的广义积分
因此 -ρ -> +ρ = ∫Cη = 2Πi×ΣRes( ,Xi) Xi∈上半圆周C
三角函数的广义积分
因此 用 exp(iz)将三角函数替换掉 对 m>0 m<0 分别用若尔当引理求 = 2Πi×ΣRes(,Xi) Xi∈上半圆周 ……∈下半圆周 即可
积分路径上有奇点的积分